O’zbekiston respublikasi axborot texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

Algebraʼ (arab. الجبر "Al-Jabr") – matematikaning bir sohasi. Algebraning asosiy masalasi – toʻplamlarda kiritilgan matematik amallarni oʻrganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga oʻxshamaydi (mas., oʻrin almashtirish yoki assotsiativlik qonuniga boʻysunmaydigan amallar mavjud). Arifmetikadan tayin sonlar ustida birinchi toʻrt amal oʻrganiladi. Algebrada esa bu amallarning har qanday son va son boʻlmagan boshqa matematik ob'ektlar uchun oʻrinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunday hosil qilinadigan natijalarning umumiy boʻlishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilaninib, harfiy ifodalar ustida bajariladigan amallarning qoida va qonunlari koʻrsatiladi, ifodalar shaklini oʻzgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari oʻrganiladi.
Algebra (arab.– al-Jabr) – mat,ning bir sohasi. Buyuk oʻzbek olimi Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy "Al-jabr val-muqobala" asa-rida dunyoda birinchi marta A.ni izchil bayon qildi. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, algebra nomi bilan jahonga tarqalgan. A. tiklashni, ya’ni manfiyhadlarni tenglamaning ikkinchi tomoniga oʻtkazishni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala tomonidan teng hadlarni tashlab yuborishni bildiradi. A.ning asosiy masalasi – toʻplamlarda kiritilgan matematik amallarni oʻrganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga oʻxshamaydi (mas, oʻrin almashtirish yoki assotsiativlik qonuniga boʻysunmaydigan amallar mavjud). Arif-metikada tayin sonlar ustida birinchi toʻrt amal oʻrganiladi. A.da esa bu amallarning har qanday son va son boʻlmagan boshqa matematik ob’ektlar uchun oʻrinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunda hosil qilinadigan natijalarning umu-miy boʻlishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilanib, harfiy ifodalar ustida ba-jariladigan amallarning qoida va 302qonunlari koʻrsatiladi, ifodalar sha-klini oʻzgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari oʻrganiladi. Umar Xaoʻyom A.ni tenglamalar yechish haqidagi fan deb ta’riflagan edi. Uning bu ta’rifi 18-asr oxirigacha kuchini saqlab keldi. Bundan keyingi davrda A. yangi yoʻnalishlar bilan kengaytirildi, ammo amallar haqidagi umumiy fan sifatida oʻz ahamiyatini saqlab ham kolli. Qad. misrliklar ancha murakkab ma-salalarni yechganlar (arif-metik va geometrik progressiyalarga doir masalalar). Masalalarning ta’ri-fi, ularning yechilishi ogʻzaki soʻz 6-n faqat sonli misollar uchun berilar edi. Bu misollar shakl jihatidan 1-va 2da-rajali teiglamalarni yechishda umumiy usullarning toʻplanayotganligidan darak beradi. Yunoniston geometriyasi alohida ajralib turardi.
Bu yerda geometrik tek-shirishlar mantiq tomonidan shunday yoʻlga qoʻyilgan ediki, unda har bir ay-tilgan fikr isbotsiz qoldirilmas edi. Geometrik mulohazalarning kuchli ta’siri natijasida arifmetika va A. masa-lalari geom. tili bilan bayon etilardi. Mas, miqdorni uzunlik deb, ikki miqdor koʻpaytmasini toʻgʻri toʻrtburchakning yuzi deb qaralardi. Hozirgi zamon mat.sida miqdorning oʻz-oʻziga koʻpaytmasini "kva-drat" deb atash geometrik tilning hozirgacha saqlanib kelishidan namunadir. Yunonlar erishgan natijalarni toʻldirish, umumlashtirish va taraqqiy ettirishda Turkiston matematiklari katta hissa qoʻshdilar. Ildizlarni hisoblash, bir qator tenglamalarni taqribiy yechish usullari, Nyuton bino-mi umumiy formulasining soʻz bilan ta’-riflangan ifodasini berish Turkiston matematik olimlari tomonidan muvaffaqiyatli hal qilingan. 9– 10-asrlarda Turkiston yirik ilmiy markazga aylanadi. Bu davrda al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniylar yashagan va fan sohasida oʻzlarining yirik ilmiy ishlari bilan dunyoga nom taratgan edilar. 1074-yilda Umar Xayyomning "al-Jabr" degan boshqa bir kitobida chiziqli va kvadrat tenglamalarni yechish, uchinchi darajali tenglamalar ildizlarini geometrik usul bilan izlash va boshqa juda koʻp masalalarni yechish yoʻllari koʻrsatilgan. Ibn Sino asarlarida ham oʻsha zamon uchun alohida ahamiyatga ega boʻlgan arifmetika va A. masalalarining yechimlari berilgan. Uning mat.ga, xususan, A. va arifmetikaga oid ishlarida sonlarni kvadrat va kubga koʻtarish amallari tekshirilgan.
Qad. dunyo tarixidan to al-Xorazmiy davriga qadar matematika A. va arifmetika kabi bilimlarga ajralgan emas edi. Faqat al-Xorazmiy davridan boshlab A. matematikaning alohida boʻlimi boʻlib ajraldi. 15-asrda Samarqandda mashhur Ulugʻbek rasadxonasining tashki l topishi astronomiyaning taraqqiy etishi bilan bir qatorda mat.ning rivojlanishiga ham sabab boʻldi. A.ning taraqqiyoti uchun amallarni soʻz bilan ifoda etishdan koʻra ular oʻrniga qulay belgilar topib ishla-tish zarur edi. Bu ish juda sekinlik bilan bordi: qad. misrliklar kasr uchun alohida belgi ishlatishgan. Diofant i harfini tenglik belgisi uchun (yun. isos – teng) ishlatgan. Italyan olimlari plyus va minus soʻzlari oʻrnida ustiga alohida chiziq chizilgan va t harflarini ishlatishgan. 15-asr oxiriga kelgandagina hozirgi = va – ishoralari kiritilgan. Bundan keyingi davrda masalada qatnashadigan miqdorlar, shuningdek no-ma’lumlar harflar bilan belgilanadigan boʻldi. 16-asr oʻrtalarida hozirgi zamon alge-brasidagi timsollar toʻla takomillash-tirildi. A.da bunday toʻla timsollarga oʻtishga qadar biror umumiy qoida yoki isbotni tushuntirish, biror umumiy fikrni ta’riflash mumkin emas edi. 16-asrda noma’lum miqdorlar uchun unli A, Ye,... harflari, ma’lum miqdorlar uchun esa unsiz V, S, D,... harflari ishla-tilib, oʻsha vaqtda kiritilgan matematik amallar bilan bogʻlandi. Shunday qilib, hozirgi zamon A.si uchun xos boʻlgan harfiy formulalar birinchi martaba paydo boʻldi. Har qanday tayin son oʻrniga tim-soliy belgilarning kiritilishi, har-303flardan arifmetika amallarini yechishda foydalanilishi juda katta ahamiyatga ega edi. Bu bilan formulalar tili boʻlgan matematik vosita hosil qilindi. Shu vositasiz 17-asrda oliy mat.ning yorqin taraqqiyoti, cheksiz kichik miqdorlar tahlili, fizika, mexanika va texnika fanlaridagi qonunlarning matematik ifodalarini berish masalalarini xayolga keltirish ham mumkin emas edi.
17-asrda Dekartning analitik geometriya tu-zishda tutgan yoʻli A.da paydo boʻlayotgan man-fiy son tushunchasini geometrik tasvirlash bilan birga, manfiy sonlarning fandagi oʻrnini mustahkamladi. Noma’lum sonlar uchun x,y,z harflarini ishlatish Dekartdan boshlangan boʻlib, hozir ham shunday qilinadi. Analitik geometriyaning maydonga kelishi A.ning katta yutugʻi boʻldi. Agar yunonlar A. ma-salalarini geom. tilida tahlil qilgan boʻlsalar, endi, aksincha, geom. masalalari A. formulalariga koʻchiriladigan boʻlib koldi. 17-asr oxiri – 18-asr boshlarida ishlab chiqaruvchi kuchlarning taraqqiyoti, texnika va tabiiy fanlarning mat. oldiga qoʻygan talablari muno-sabati bilan differensial va integral hisob vujudga keldi va taraqqiy eta boshladi.
Bunga A.ning bosib oʻtgan tari-xiy taraqqiyoti ham zamin tayyorlab bergan edi. Bu davrda A. bilan matematik tahlil bir-biri bilan jips munosabatda taraqqiy qilardi. A.ga funksional bogʻlanish masalalari kira boshladi. Tahlil esa A.ning boy formulalari toʻplamidan foydalana bordi. 18–19-asrlarda A. taxlildan farq qilib, diskret va chekli miqdorlar bilan ish koʻrardi: bu davrda A. asosan koʻphadlar bilan shugʻullanardi. 2darajali tenglamalarni yechish munosabati bilan A.da irratsio-nal va kompleks sonlarning fanga kiri-tilishi uchun ehtiyoj tugʻiladi. Bu sonlarning kiritilishi bilan 18-asrda A. hozirgi zamon oʻrta maktabida oʻtilayotgan A. hajmiga yaqin kelgan edi. Harfiy belgilardan foydalanib turli sonlar tizimlarining umumiy xossalarini hamda tenglamalar vositasi bilan yechishning umu-miy metodlarini urganadigan A. klassik algebra deb yuritiladi. Klassik A.da kv. tenglamani yechish qad. dunyodan ma’lum, ammo uchinchi va toʻrtinchi dara-jali tenglamalarni yechish formulalarini esa faqat 16-asrda italyan matematiklari Kardano, Tartalya va Fer-rari yaratib berdi.
Bu formulalar tenglama ildizlarini uning koef-fitsiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikallarda ifoda etadi. Da-rajasi 4 dan yuqori tenglamalar ildizlarini ham shu yoʻsinda ifodalash masalasi koʻp vaqn olimlar diqqatini oʻziga jal b qilib keldi. Oradan 300 i. oʻtgach, 19-asrda Abel hamda Galua darajasi 4 dan yuqori alge-braik tenglamalar ildizlarini koeffisiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikal koʻrinishida ifoda etish mum-kin emasligini isbot kildilar (qarang Galua nazariyasi). Galua har bir tenglama bilan uning ildizlarini almashtirish guruhini beradi va tenglamani tekshirishni bu guruhni tekshirishga keltiradi.
Algebraik tenglamalar ildizlarining soni va ularning qaysi sohaga te-gishli boʻlishi masalalari ham koʻp vaqtdan beri olimlarning diqqat marka-zida turgan masalalardandir. D’Alamber va Gauss kompleks koeffitsiyentli har qanday pdarajali tenglama p ta kom-pleks ildizga ega ekanligini isbotladilar (qarang Oliy algebraning asosiy teore-masi). 19-asr boshlarida mavhum sonlarning tabiatini oʻrganish tufayli mate-matik amal tushunchasi kengaya boshladi. Ingliz matematiklari birinchi boʻlib matematik amalning mavhum tushunchasiga keldilar va bu tushunchani yangi mate-matik obektlarga tatbiq qilish bilan A. sohasini kengaytirdilar. Bu davrda vektorlar, kvaternionlar, gaperkom-pleks tizimlar, matritsalar algebrasi, assotsiativ boʻlmagan algebralar va alge-braik geometriya tashkil topdi va rivoj-landi, yangi algebraik ob’ektlar, chunonchi halqa, maydonlar paydo buddi.
Bular 19-asr 1-yarmidagi A.ni jonlantirdi. Oʻsha 304vaqtgacha A. metodlari va natijalari A.ning markaziy muammosi hisoblangan algebraik tenglamalarni yechishdan ibo-rat edi. 1850-yildan keyin esa ahvol oʻzgardi, yangi izlanishlar borgan sari hozirgi kunda algeb-raning asosiy muammosi hisoblangan mat. amallarni oʻrganishdan iborat boʻla bordi. 19-asr 2-yarmida algebraik sonlar, invariantlar va guruhlar nazariyasi vujudga keldi. 20-asrda algebra mat.ning turli sohalariga, nazariy fizika, kimyo, biol., genetika kabi boshqa fanlarga ham jadal kirib keldi, ya’ni matematika va boshqa koʻpgina sohalarni algebralashtirish jarayoni roʻyobga keldi. Ayni paytda A. va mat.ning turli sohalari chegarasida mat.ning yangi yoʻnalishlari, chunonchi A. va funksional analiz oʻrtasida Banax A.lari:, operatorlar Alari nazariyasi, A. bilan topologiya oʻrtasida gomologak A. va hokazo paydo boʻldi. 

Haqiqiy sonlarning m n o’lchamli matiritsasi deb m ta satr va n ta ustundan iborat haqiqiy sonlar ma’lum tartibda to’ldirilgan to’g’ri to’rt-burchakli jadvalga aytiladi. Jadvalni to’ldirgan sonlar matritsaning elementlari deyiladi. Matritsalarni belgilash uchun ikkilangan vertical chiziqlar (|| ||) yoki yumaloq qavslar (( )) ishlatiladi .Matritsalar odatda, lotin alifbosining katta hariflari bilan, masalan, A, B, C,…,kabi nomlanadi.

Matritsa bir elementdan iborat bo’lishi ham mumkin.Umuman olganda, matritsaning elementlari ikkita indeksli bolib matritsa nomlanishiga mos bo’lgan lotin alifbosining kichik harflari orqali belgilanadi. Masalan, A matiritsaning i-satr va j-ustundagi element kabi belgilanadi. Bunda element indeksidagi i va j natural sonlar elementning A matritsadagi o’rni – koordinatalarini bildiradi. Masalan, A=[ ] yoki A=‖ ‖ matritsa m ta satr va n ta ustundan iborat yuqoridagi A matritsa qisqacha A=‖ ‖mxn ,i=1,2,…,m,j=1,2,…, kabi ko’rinishda ham ifodalanadi. Misol uchun, A=( ) o’lchamlari 2 bo’lgan matritsalar bo’lsa D=( ) 2x3 o’lchamli matritsadir 2.Ta’rif.Ikkita bir xil o’lchamli matritsalarda barcha o’zaro mos elementlari teng bo’lisa, bunday matritsalar teng deyiladi va A=B kabi yoziladi Matritsalarning turlari. Matritsalar o’lchamlari, elementlarining joylashishi va tarkibiga ko’ra turlanadi.