O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi sharof rashidov nomidagi samarqand davlat universiteti

5-topshiriq

Mavzu: Evropada matematika taraqqiyoti mavzusi bo‘yicha topshiriq

1. Xitoy (milod. avv. 2000 yil). Arar uchburchakka ichki chizilgan kvadratning tomoni katta katetga yasalib, u bilan umumiy to‘g‘ri burchak hosil qilsa, kvadrat tomonining uzunligini toping, bunda katetlar mos ravishda va ra teng.

Javobi:
2. Tomonlari , va ga teng to‘g‘ri burchakli uchburchakka ichki chizilgan aylananing radiusini toping.
Javobi:
3. Vavilon (milod. avv. 2000 yil). «Men yuzani va mening kvadratim tomonining qismini qo‘shib, ni hosil qildim. Mennng kvadratim tomoni qanchaga teng?»
Javobi:
5. Misr (milod. avv. 2000 yil). Tomonlari 50, 50 va 60 ra teng bo‘lgan uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusini toping.
Javobi: 25
6. Arximed (milod. avv. 287 - 212 yillar). Aridan yulduzlarigacha bo‘lgan masofara teng bo‘lgan radiusli sharda qancha qum donasi mavjud?
Ye ch i sh. Arximed maxsus hisoblash sistemasini ishlab chiqdi, uning birligi miriada, ya’ni 10 000 edi. U olgan natijani tasavvur qilish uchun Yerga teng bo‘lgan sharda qancha qum donasi bo‘lishini hisoblab chiqamiz, bu Arximed sferasiga qaraganda qum donasi kabidir. Yerning hajmi sm³. Hajmi 250 sm³ bo‘lgan stakan yordamida Yerga teng bo‘lgan sferani qum bilan to‘ldirish uchun uni marta to‘ldirish lozim. Agar biz bir sekundda 1000 stakanga qum to‘ldiradigan maxsus asbob yordami bilan ish ko‘rsak stakanni to‘ldirish uchun sek yoki yil, ya’ni 100 trillion yil kerak bo‘ladi.
6. I o s i f F l a v i y (taxminan 37 yilda tug‘ilgan) Ierusalimda yahudiylar qo‘zg‘oloni bostirilib, u xarobaga aylantirildi. Rim jangchilari qo‘zg‘olonchilarni tutib olib, ularni o‘ldirar edilar. Flaviy 41 kishi bilan qochadi va g‘orga yashirinib olishadi. Hech qanday ilojlari qolmaganlaridan keyin Flaviy so‘nggi kuchlaridan ham xorib tamom bo‘laetgan jangchilarga rimliklarga asir tushishni taklif etdi. Lekin jangchilarning bunga jahllari chiqib, rimliklarga asirga tushishdan ko‘ra bir-birlarini o‘ldirish yaxshiroq deb qaror qildilar. Hech qanday maslahat ularga kor qilmadi. Jangchilar Flaviyga bir-birlarini o‘ldirishni undan boshlaymiz deb do‘q qildilar. Lekin dono Flaviy bir yo‘lini topdi. Flaviy o‘ldirish boshlanadigan kuni barcha jangchilarni (shu bilan birga o‘zi va o‘rtog‘ini) bir qatorga turg‘azdi va chap tomondan har bir uchinchi jangchi o‘ldiriladi deb e’lon qil- di. Birinchi, ikkinchi, uchinchi va h. k. o‘ldirishlar olib borilgandan so‘ng Flaviy va o‘rtog‘i omon qoldi, ular qaysi joylarda turgan edilar?
Javo6. Iosif Flaviy va uning o‘rtog‘i turgan o‘rinlar tagiga chizib ko‘rsatilgan:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41.
8. A r i a b x a t a 1 (Hindiston). Choparlar haqidagi masala. Ikkita osmon jismi bir-6iriga qarab yoki biri ikkinchisining orqasidan harakat qildi. Ularning uchrashish vaqtini toping.
Javob i: (birinchn holda);
(ikkinchi holda),
bunda va — ikki jism orasidagi masofalar, | va — ularning tezliklari.
8. B x a s k a r a II. «Ey, sonni bilguvchi kishi, aytchi, 12 ga ko‘paytirilganda va o‘zinnng kubiga ko‘tarilganda bu son kvadratining 6 ga ko‘paytirilgani va 35 yig‘indisiga teng bo‘lgan soni topchi?».
Javob. 5
9. M a r a v i r a (Hindiston). Agar fillar umumiy sonining qismidan ildizining 9 tasi bilan qolganining qismi ildizi 6 tasi bilan qo‘shilib, o‘rmonda ishlayotgan va yana 24 fil borligi ma’lum bo‘lsa, fillar soninn toping.
J a v o b i: 150 ta.
Ko‘ r sat m a. Fillar umumiy sonini x deb belgilasak,

tenglamaga kelamiz. belgilashni kiritib

kvadrat tenglamaga kelamiz.
10.Nara y a n a (Hindiston, XVI asr). Sigir har yili bitta buzoq beradi, buzoq uch yoshndan boshlab buzoq bera boshlaydi. 20 yildan so‘ng bitta sigirdan qancha mol olish mumkin va mollar soni qancha bo‘ladi?
J a v o b i. 2745 ta sigir.
11. A n a n i ya Sh i r a k a si (Armaniston, VII asr). Afina shahrida hovuz bo‘lib, unga uchta ariq o‘tkazilgan. Birinchi ariq hovuzni bir soatda, ikkinchisi ikki soatda, uchinchisi uch soatda to‘ldiradi. Shunday qilib, uchala ariq birgalikda bir ooatda hovuzning qanday qismini to‘ldiradi?
Ja v o b i. qismini.
12. A l-K a r a j i y (Abu Bakr al-Husayn al-Karajiy, X — XI asrlar). Namunadan foydalanib, quyidagilarni hisoblang:

;
14. I b n al-B a g‘ d od i y (Abdulla al-Hasan ibn Muhammad ibn Xamsa, X asr oxiri- XI asp boshlari)
Isbotlang:
A) ;
B) ;
V) ;
G)
13. A. F. Magniskiyning «Arifmetika» asaridan. Bir kishi 106 arshin (1 arshin 71,12 sm) uch xil gazlama sotib oldi, bir gazlamadan ikkinchisiga qaraganda 12 arshin ortiq, ikkinchisidan uchinchisiga qaraganda 9 arshin ortiq sotib oldi. U har bir gaz- lamadan qanchadan sotib olgan?
Javobi: I — 46 arshin, II — 34 arshin, III — 25 arshin.
14. Shridxara «Patiganita» (Hindiston).3 rupiyaga - 5 ta kaptar, 5 rupiyaga- 7 ta turna, 7 rupiyaga - 9 ta oqqush va 3 rupiyaga –3 ta tovus sotildi. Aytilgan narxlarga ko‘ra 100 rupiyaga shahzoda ermagi uchun 100 ta dona qush olib kel!»
Javob:16 ta yechimga ega.
15. Bir kishi 300 tanga va 6 otga ega, ikkinchisi 10 ta shunday otga ega, lekin unga 100ta tanga yetmaydi. Ikkovi bir xil boylikka ega. Otlarning narxi qancha?
Javob:100 tanga.
16. «Bir kishi dedi: «Menga 100rupiya ber va sendan ikki barobar boy bo‘laman». Ikkinchisi aytdi: «Agar sen menga 10rupiya bersang,men sendan olti barobar boy bo‘laman». Har biri qancha pulga ega».
17. «Agar sonning to‘rtinchi darajasidan sonning kvadrati va uning 200 ga ko‘paytirilgan yig‘indisi ikkilanganini ayirsak bir kam o‘n ming hosil bo‘ladi. Bu sonni toping.
Javob:11.
Ko‘rsatma. Masala

tenglamani yechishga keltiriladi.
18. «Maymunlar to‘dasi o‘ynayapti:sakkizdan bir qismi kvadrati o‘rmonda, yuribdi,qolgan 12 tasi qoya bag‘rida qichqirishmoqda. Ayt-chi hammasi bo‘lib nechta maymun bor?»
Ko‘rsatma: tenglamadan ga kelamiz.
19. «12 ta barmoqli gnomon soyasi gipotenuza uchdan biriga kichrayganda 14 barmoqqa teng bo‘ladi. Ey matematik soya uzunligi qanchaga teng?»
Javob: 45/2.
Ko‘rsatma. Soya uzunligini x deb olib
yoki
tenglamaga ega bo‘lamiz.
20. Baxshali qo‘lyozmasi.(VI-VII asrlar). Birinchi va ikkinchi (kishi) boyligi birgalikda 13 ga, ikkinchi va uchinchisning birgalikdagi boyligi 14 ga, birinchi va uchinchisining boyligi 15 ga teng. Har birining boyligi qancha?
Ko‘rsatma:Masala

tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi.
21. Anor, mango va o‘rmon yong‘og‘i (mos ravishda) 3 (dona-sining)tasi 2 pana, 5 tasi – 3 pana, 7 tasi – 5 pana narxlar bilan sotilyapti. Ey o‘rtoq, hisobni bilguvchi, 76 panaga shuncha meva sotib olginki, o‘rmon yong‘og‘idan mango 3 marta, anor 6 marta ko‘p bo‘lsin.
Javob: 70, 35, . Ko‘rsatma. Uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasiga kelamiz:

Bunda lar mos ravishda anor , mango, o‘rmon yong‘oqlari soni.
22. Birorta sonning
; ;
qismlar yig‘indisi 0,5 ga teng. Bu qanday son?
Javob:42/5.
23. To‘rtta savdogar bojxonada so‘raldi. Birinchi savdogar unga tegishli tovarni hisobga olmaganda ular yig‘indisi 22 ga, ikkinchisi esa 23 ga, uchinchisi esa 24 ga, to‘rtinchisi 27 ga teng deb javob berdilar. Har bir savdogarning tovari qancha?
Javob: 32.
24. 9 ta limon va 7 o‘rmon olmasi bahosi 107, 7 ta limon va 9 o‘rmon olmasi narxi 101. Ey matematik, tez aytchi, limon va o‘rmon olmasi qancha turadi?
Ko‘rsatma: quyidagi sistemaga ega bo‘lamiz:

25. Tuyalar podasi ¼ qismi o‘rmonda, 15 ta tuya daryo qirg‘og‘ida (qolgan tuyalar) – umumiy son kvadrat ildizi ikkilangani – do‘nglik yon bag‘rida yuribdi. Podada tuya nechta?
Ko‘rsatma. Masala yoki kvadrat tenglamani yechishga keltiriladi.
26. Tovuslar galasi 1/16 qismi o‘z-o‘ziga ko‘paytirilgani mango daraxtida qo‘nib turibdi, qolgan qismi 1/9 qismi o‘z-o‘ziga ko‘paytirilgani va yana 14 ta tovus tamala daraxtida qo‘nib turibdi. Hammasi bo‘lib nechta tovus bo‘lgan?
Javob: 48 ta.
27. Xo‘roz urishtirish o‘yinida bir kishi xo‘rozlarning ikki egasi bilan shartlashdi. Birinchisiga u dedi: «Agar sening xo‘rozing yutsa, yutuqni menga berasan, agar yutqazsa men sening yutug‘ingni 2/3 qismini to‘layman». Ikkinchisiga dedi: « Agar sening xo‘rozing yutsa, yutuqni menga berasan, agar yutqazsang senga yutug‘ingni ¾ qismini beraman». Ikki holda ham (o‘sha kishi) 12 oltin tanga oladi. Ey oliy toifadagi matematik, har bir raqib yutuqlarini aytsin».
Ko‘rsatma. Har bir raqib yutuqlarini va deb belgilab

tenglamalar sistemasiga kelamiz.
29. Asalari uyasidan uchdan biri kadamba guliga, beshdan bir qismi shilindxa gullariga qo‘nadi. Bu sonlarning ayirmasi uchlangani kutayn guliga qo‘nish uchun uchib ketdi, faqat bitta asalari bir vaqtda jasmin va pandanus gullari hidiga mahliyo bo‘lib qoldi. qancha asalari bor edi?
30. Tiniq lotos gullari to‘plamidan uchlan biri Shivaga, beshdan biri –Vishniga, oltidan biri quyoshga taqdim etildi. Barcha gullar to‘rtdan bir qismini Bxavani oldi, qolgan oltita gulni hurmatli ustoziga berdi. Aytchi, lotos gulidan nechta bo‘lgan edi?
Javob: 120 ta.