Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

OʻN UChINChI MA’RUZA
Mavzu: Fazoda jismlarni oʻrganish
1.Fazoda toʻgʻri chiziq va tekisliklarni oʻrganish.
2.Koʻpyoqlar va ularni oʻrganish xususiyatlari.
3.Muntazam koʻpyoqlar.
4.Aylanish jismlari haqida tushunchalar .
5.Tsilindr va konus.
6.Shar va sfera.
Tayanch iboralar: fazo, toʻgʻri chiziq, tekislik, ularning oʻzaro joylashishi, koʻpyoq tushunchasi, parallellepiped, prizma, piramida, muntazam koʻpyoqlar, aylanish jismlari, tsilindr, konus, shar, sfera, ularni oʻrganish xususiyatlari.
1. Fazoda toʻgʻri chiziq va tekisliklar oʻzaro joylashishi haqidagi tushunchalar oʻrganilayotganida asosan ularning quyidagi holatlari qaraladi: toʻgʻri chiziqlar parallellik va perpendikulyarlik holati, ayqash toʻgʻri chiziqlar, toʻgʻri chiziq va tekislikning parallelligi va perpendikulyarligi, tekisliklarning oʻzaro parallelligi va perpendikulyarligi.
Bu tushunchalarning oʻrganish jarayonida oʻquvchilar, umuman olganda fazoda toʻgʻri chiziq va tekislik vaziyatlarni tahlil qilib, ularda fazoviy tasavvurlarning rivojlanish imkoniyatlari vujudga keladi.
Mazkur mavzuni oʻrganishda quyidagi jihatlarga alohida e’tibor berish lozim: birinchidan, parallellik va perpendikulyarlik alomatlarining qatiiy isbotlanishi, ikkinchidan, koʻrgazmalilik asosida asoslashga e’tibor berish; uchinchidan, qoʻllashga doir fazoviy masalalarni echish.
Bundan tashqari, bu mavzuning fazoviy jismlarning kesimlarni hosil qilishda, tasvirlashda ahamiyatini e’tiborga olib zarur mashqlar sistemasidan foydalanish talab etiladi.
Toʻgʻri chiziklarning fazodagi vaziyati bilan tekislikdagi vaziyati orasidagi farq va oʻxshashliklarni ochib berish ham oʻquvchilarning mazkur tushunchalarini yaxshi egallashlariga imkon beradi.
Shuningdek, bu erda hosil boʻladigan holatlarni barchasini qarab chiqish va muhokama etish modellarga va tegishli chizmalarga tayanilib umumlashtirilgan holda olib borilishi ham foydali.
Oʻquvchilarning fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish uchun ayqash toʻgʻri chiziqlar, uch perpendikulyar haqidagi teoremalarni koʻrgazmali tasavvur etishga doir mashqlarni taklif etish maqsadga muvofiq.
2. Koʻpyoqlarni oʻrganishni tekislikdagi koʻpburchak tushunchasi bilan bogʻlab olib borish va ulardagi farqlarni koʻrsatishni tushuntirish bilan qoʻshib olib borish zarur. Masalan, koʻpburchak – yopiq siniq chiziq bilan chegaralangan tekislikning nuktalaridan iborat kism – tuplami bulsa, koʻpyoq – koʻpburchaklardan tuzilgan yopiq sirt bilan chegaralangan fazo nuqtalar toʻplami qism – toʻplamidan iborat. Koʻpburchak - ikki oʻlchovli boʻlsa, koʻpyoq – uch ulchovli obraz.
Qavariqlikni oʻrganishda ham qavariq koʻpburchak uning ixtiyoriy tomonini oʻz ichiga oluvchi toʻgʻri chiziqdan bir tomonda yotadi, qavariq koʻpyoq esa uning ixtiyoriy yoki yotgan tekislikdan bir tomonda yotadi.
Koʻpyoqlarga turlicha ta’riflar beriladi. Masalan, prizma va piramidaga quyidagicha ta’riflar berish mumkin. Prizma – qavariq koʻpyoq boʻlib, uning ikki yoki mos tomonlari paralel boʻlgan tengdosh koʻpburchaklardan, qolgan yoqlari juft-jufti bilan paralel toʻgʻri chiziqlar buyicha kesishuvchi parallelogramlardan iborat, piramida esa bir yoki (asosi) koʻpburchak, qolgan yoqlari (yon yoqlari) umumiy uchga ega boʻlgan uchburchaklardan iborat qavariq koʻpyoq. Shuningdek, koʻpyoqlarni yasalish nuqtaiy nazardan ham ta’riflash mumkin.
Oʻquvchilarga koʻpyoqlar turlari orasidagi oʻzaro munosabatlarni kursatish geometrik tushunchalarning kelib chikish jarayonini koʻrsatish uchun imkon beradi. Masalan, kub – toʻgʻri burchakli parallelepiped – toʻgʻri parallelepiped – parallelepiped – prizma - koʻpyoq – geometrik jism – nuqtalar toʻplami ketma-ketligini sxema orqali koʻrsatib, biri ikkinchisidan mantiqiy kelib chiqishi bayon etiladi. Yoki toʻgʻri prizma, parallelepiped va kublar orasida qanday oʻzaro munosabat mavjudligini aniqlashni topshirish mumkin.
3. Muntazam koʻpyoqlar ikki shartni qanoatlantirishi lozim: a) barcha yoqlari – muntazam va oʻzaro tengdosh uchburchaklardan iborat; b) barcha koʻpyoqli burchaklari oʻzaro teng. Birinchi shartdan muntazam koʻpyoq yoqlari bir xil ismli koʻpburchaklardan iborat ekanligi kelib chiqadi.
Ikkinchisidan esa buning barcha koʻpyoqli burchaklari ham bir xil ismli boʻlishi koʻrinadi. Masalan, kubning barcha yoqlari, kvadratlar, barcha koʻpyoqli burchaklari – uch yoqli. Bunday shartlarni qanoatlantiruvchi nechta koʻpyoq mavjud degan savol tugʻiladi. Javob: yoqlari tomonlari soni oltidan katta boʻlgan muntazam koʻpburchaklardan iborat koʻpyoq mavjud emasligi ta’kidlanadi.
Xaqiqatdan, p 6 da koʻpyoqning har qanday tekis burchagi . Koʻpyoqning koʻpyoqli burchaklari uch yoqli boʻlsa, u holda tekis burchaklari yigʻindisi S. Bu esa koʻpyoqli burchaklar xossasiga zid.
Shunday qilib, muntazam koʻpyoqning yoqlari faqat muntazam uchburchak, turtburchak va besh burchakdan iborat boʻlishi mumkin.

1. 
   pq3 boʻlsa, yoqlari muntazam uchburchak boʻlgan uch xil muntazam koʻpyoq mavjud: uchyoqli, toʻrtyoqli va beshyoqli burchakli koʻpyoqlar;
   
2. 
   pq4 boʻlsa, yoqlari kvadratlardan iborat va faqat uchyoqli burchakka ega muntazam koʻpyoq mavjud;
   
3. 
   pq5 boʻlsa, yoqlari –muntazam beshburchaklardan iborat va bitta uchyoqli burchaklarga ega muntazam koʻpyoq mavjud.
   

Shu asosda koʻpyoqlar uchun ( uchlari, yoqlari va qirralari soni orasidagi munosabatni ifodalaydigan) Eyler teoremasini keltirib chiqarish mumkin. Bu teorema: koʻpyoqlar topologik xossasi boʻlib, geometrik almashtirishlar uchun invariant hisoblanadi; uni matematik induktsiya usuli bilan isbotlash mumkin; muntazam koʻpyoqlar nazariyasini tuzishga imkon beradi.
Agar koʻpyoqning uchlari sonini –Y, yoqlari sonini-Yo, qirralari sonini- K deb belgilasak, dastlab konkret misollarda uchburchakli, toʻrtburchakli va p-burchakli prizma va piramidalar uchun Y+Yo–K=2 ( Eyler formulasi) munosabatni tekshirib koʻrish talab qilinadi
4. Aylanish jismlarini oʻrganish extieji zarurligi bu jismlar qoʻllaniladigan haetiy misollarni baen etish jarayonida amalga oshiriladi. Aylanish jismlarini oʻrganishda dastlab aylana, doira va koʻpburchak haqidagi oʻquvchilar bilimlari mustahkamlanadi. Aylanish jismlarini oʻrganish uchun faqatgina stereometrik masalalarini echish etarli emas, yana buning uchun planimetriyadan zarur ma’lumotlarni takrorlash, masalalar echish jarayonida hisoblashlarni puxta tashkil etish talab etiladi. Mavzuni oʻrganish ikkita mantiqiy qismga ajratiladi.

1. 
   Tsilindr, konus: a) ta’rif, sirtlar, simmetriya, urinma tekislik, oʻq kesimi, unga perpendikulyar oʻq kesimi, ichki va tashqi chizilgan koʻpyoqlar; b) hajmi; v) yon sirt yuzi.
   
2. 
   Shar va sfera: a) ta’rif, simmetriya, kesim, urinma tekislik; b) sharning hajmi; v) sfera sirti yuzasi.