Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

Mustaqil oʻrganish uchun savollar:
1. Ayniy shakl almashtirish deb nimaga aytiladi?
2. Koʻphadlar va birhadlar maktabda qanday tartibda oʻrganiladi?
3. Koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish qanday usullari oʻrganiladi?
4. Algebraik kasr tushunchasi qanday oʻrganiladi?
5. Algebraik kasrlar ustida qanday amallar qoidalari mavjud va uni oʻrganishning qanday xususiyatlari mavjud?
6. Koʻphadlar ustida qanday amallar oʻrganiladi va ularni oʻrganish tartibi va usullari haqida nimalarni bilasiz?
OʻNINChI MA’RUZA
Mavzu: Tenglama va tengsizliklarni oʻrganish

1. Tenglama va tengsizliklar yoʻnalishi mazmuni va ahamiyati.

2. Yoʻnalishning asosiy tushunchalarini oʻrgatish.
3. Tushunchalarni oʻrganish umumiy ketma-ketligi.
4.Tenglama va tengsizliklarni oʻrganish xususiyatlari.
Tayanch iboralar: tenglama, tengsizlik, yoʻnalishlar, asosiy tushunchalar, echish usullari, tenglama va tengsizliklar sistemalari, oʻrganish metodikasi xususiyatlari.
1. Tenglama va tengsizliklar matematikaning asosiy yoʻnalishlaridan biri boʻlib, maktabda uni oʻrganilishi asosan uning taraqqiyoti haqida tarixiy ma’lumotlarni bayon etish bilan qoʻshib olib borish maqsadga muvofiq. Ayniqsa, bu yoʻnalish rivojlantirishda oʻzbek matematiklari ma’lum hissa qoʻshganliklarini eslatib oʻtish joizdir. Masalan, Al-Xorazmiy , Abu Rayxon Beruniy, Forobiy kabi mutafakkirlarning bu boradagi ishlarini ta’kidlab oʻtish lozim.
Tenglama va tengsizliklar algebrasi 16-18-asrlarda shakllangan edi. Bu paytda koordinatalar usuli va analitik geometriya hali kashf etilmagan edi, va algebrada matnli masalalarni echishning vositasi sifatida, formulalarni qoʻllash, geometrik ob’ektlarni aniqlovchi formulalarni oʻrganadigan fan asoslari oʻrnatilayotgan edi. Algebraik belgilashlarning kashf etilishi va tenglamalar echish usullari takomillashuvi bilan algebra mustaqil matematika sohasi sifatida tarkib topdi.
Tenglama va tengsizliklarni oʻrganishda uch asosiy yoʻnalish mavjud: matnli masalalar echishning algebraik usullarini oʻrganishda amaliy yoʻnalish; nazariy-matematik yoʻnalish: tenglama va tengsizliklar, ular sistemalarining eng muhim sinflari; umumlashgan usul va tushunchalarni oʻrganish yoʻnalishi mantiqiy tartiblashga imkon beradi; maktab matematika kursi boshqa yoʻnalishlari bilan uzviy aloqalarni oʻrnatish. Masalan, son yoʻnalishi uchun bu yoʻnalish sonli sistemalarni ketma-ket kengaytirish gʻoyasi bilan zarur. Funktsional yoʻnalishda tenglama va tengsizliklar usulining qoʻllanilishi funktsiyalarni tekshirishga qoʻllash, masalan, ularning aniqlanish va oʻzgarish sohalarini topish, ildizlarini aniqlash, ishora saqlash oraliqlarini tekshirishlarga qoʻllanilishini koʻrish mumkin.
Funktsional yoʻnalish esa oʻz navbatida tenglama va tengsizliklarni koʻrgazmali grafik ravishda tekshirishga ta’sir koʻrsatadi. Yoʻnalishning algoritmikligi turli sinf tenglamalarini echish jarayoni algoritmlar asosida roʻy berishida koʻrinadi.
Asosiy tushunchalari. Tenglama. M – algebraik amallar toʻplami, x – M dagi oʻzgaruvchi, u holda M dagi x ga nisbatan tenglama deb

koʻrinishdagi predikatga aytiladi (a(x) va b(x) berilgan amalga nisbatan ifodalar). Predikat bu oʻzgaruvchili mulohaza.
Tenglamaning ikki jihati mavjud: tenglama-predikatning maxsus turi, ikkinchidan, ikkita ifodani birlashtiruvchi tenglik, bunda birinchisi – ma’noli qismi boʻlib, ildizni aniqlash uchun, ikkinchisi – belgili qismi- tenglamani tasvirlovchi yozuvning xususiyati .
Yana bir qismi amaliy xarakterda boʻlib, turli masalalarni echish uchun vositadir.
Maktabda tenglama quyidagicha ta’riflanadi:
Ta’rif. Noma’lumni oʻz ichiga olgan tenglik tenglama deyiladi.
Tenglamaning ildizi deb noma’lumning shunday qiymatiga aytiladiki, bunda bu tenglama toʻgʻri tenglikka aylanadi.
Tenglamani echish – tenglamaning barcha ildizlarini topishga aytiladi.
Tenglama va tengsizliklarni oʻrganishda teng kuchlilik va mantiqiy kelib chiqish tushunchalarini bayon etishda quyidagilarga e’tiborni jalb etish talab etiladi: ildizlar toʻplamlarini tekshirish va ularning ustma-ust tushishiga ishonch hosil qilish; tenglamalar koʻrinishi xususiyatlaridan foydalanish, bir koʻrinishdan ikkinchisiga ketma-ket oʻtishni amalga oshirish.
Tenglama va tengsizliklar, ularning sistemalarini shaklini almashtirishning uch asosiy turi mavjud: tenglama biror qismi shaklini oʻzgartirish, masalan,

tenglama chap qismini shaklini oʻzgartirib quyidagi koʻrinishga keltirish mumkin:
.
Bunda ayniy shakl almashtirishlarning qavslarni ochish, oʻxshash hadlarni ixchamlash va h.k. kabi usullaridan foydalanish mumkin; tenglama ikkala tomonini muvofiq holda oʻzgartirish (shaklini almashtirish). Masalan, bunga tenglama ikkala tomoniga arifmetik amallar yoki elementar funktsiyani qoʻllash natijasini olish mumkin: yana ikki tomoniga biror had qoʻshish, ikkala tomonini biror songa koʻpaytirish kabilar xam shular jumlasidandir. Quyidagi munosabatlardan

tenglama va tengsizliklar shaklini oʻzgartirish uchun qoʻllaniladi.
Tenglama va tengsizlik mantiqiy shaklini almashtirish, bunda kon’yunktsiya va diz’yunktsiya xossalaridan foydalaniladi, ya’ni tenglamalar sistemasida biror komponentni ajratish

oʻzgaruvchini almashtirish

sistemaga olib keladi,

sistemadan

tenglamaga oʻtish, tenglamalar turli echish hollarini koʻrib chiqish usuli ham mavjud, masalan:
2x + 3x| =1
tenglamani echishda

hollarni koʻrib chiqishga toʻgʻri keladi .
Tenglama va tengsizliklarni oʻrganishning toʻrt bosqichi mavjud: tenglamalar asosiy tiplarini oʻrganishning bogʻliqmasligi; tenglamalar sinflarining doimiy kengayib borishi, tenglamalar echish usullarini shakllantirish va tenglamalar echishni tahlil etish; tenglama va tengsizliklar yoʻnalishi materiallarini sintez qilish.
Dastlab tenglama va tengsizliklar quyidagi tartibda oʻrganiladi:

• 
  bir noma’lumli chiziqli tenglama;
  
• 
  bir noma’lumli chiziqli tengsizlik;
  
• 
  ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi;
  
• 
  kvadrat tenglama va tengsizliklar;
  
• 
  sodda irratsional va transtsendent tenglama va tengsizliklar;
  

Tenglamalar echishning uch xil usuli alohida bayon etiladi:mantiqiy usullari; hisoblash usullari; koʻrgazmali-grafik usuli, ya’ni son toʻgʻri chizigʻi yoki koordinatalar tekisligidan foydalanib echish usullari.
Oʻrganish metodikasi ikkita bosqichda amalga oshiriladi: ratsional tenglama va tengsizliklar va ularning sistemalari; transtsendent va irratsional tenglama va tengsizliklar va ularning sistemalari.
Bunda ikki xil usuldan foydalaniladi: tenglama va tenglamalar sistemalari tushunchalari soʻngra chiziqli, kvadrat, trigonometrik va x.k. tengsizliklarni oʻrganish; tengsizliklarni ularga mos tenglamalar sinflarini oʻrgangandan soʻng qaraladi.
Tenglama va tengsizliklarni oʻrganish 5-6–sinflardan boshlanadi.7-9-sinflarda u davom ettirilib, turli tenglamalar sinflari va ularning echish usullari qaraladi.
Oʻrta maktab, akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida algebra kursini oʻrganish jarayonida kvadrat tenglama va tengsizliklarni echish va tekshirish asosiy oʻrinni egallaydi. Shu sababdan bunda oʻquvchilarga ijodiy fikrlash va matematik tadqiqot etish koʻnikmalarini shakllantirish imkoniyatlari mavjud. Buni amalga oshirishda savol-javoblar majmuasini bosqichma-bosqich qoʻllashga asoslangan texnologiya muhim ahamiyatga ega.
Texnologiyaning 1-bosqichida echish usuli nostandart boʻlgan topshiriqlarni oʻz ichiga olib, ildizlari turli hamda mavjud boʻlmagan hollarni va nostandart ravishda berilgan kvadrat tenglama va tengsizliklarni yoki kvadrat tenglama va tengsizlikka keltiriladigan tenglama yoki tengsizliklarni tadqiq qilishga doir masalalar muxokama etiladi. Masalan,
1. v ning shunday qiymatlarini topingki, tenglamaning ildizlari butun boʻlsin.
2. ifoda faqat musbat qiymatlar qabul qilishini isbotlang.
2-boskichda esa test savollarini qoʻllash orqali oʻquvchilarning kvadrat tenglama va tengsizliklarni echish usullari koʻnikmalarini egallashlari mustahkamlanadi.Masalan:
1. va tenglamaning katta va kichik ildizlari boʻlsa, u holda
A. B. V. 36 G. D.-
3-bosqichda tahlil etishga doir topshiriqlar muhokama etiladi. Masalan: ifodaning eng katta qiymatini toping; ildizlari tenglama ildizlaridan 2 marta katta boʻlgan kvadrat tenglama tuzing.
4-bosqichda kvadrat tenglamalarni turdi xil masalalar echishdagi ahamiyatini koʻrsatishda bu tenglamalar bilan echiladigan masalalar sinflari alohida aniq misollar asosida koʻrsatilishi, masala tahlilini muaffaqiyatli amalga oshirish uchun imkoniyat yaratadi. Bunda quyidagi sinflar ajratib koʻrsatilishi mumkin:
1.Tuzilgan kvadrat tenglama ildizlarga ega emas(masala echimga ega emas).
2.Tuzilgan kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga ega, u ham masala echimi boʻla olmaydi.
3.Kvadrat tenglama bitta ildizga ega va u masala echimi boʻladi.
4.Kvadrat tenglama ikkita ratsional echimga ega, ikkalasi ham masala masala shartini qanoatlantirmaydi.
5.Kvadrat tenglama ikkita ildizga ega, ulardan biri masala echimi boʻladi, ikkinchisi masala shartini qanoatlantirmaydi.
6.Kvadrat tenglama ikkita ildizga ega va ikkalasi ham masala echimi boʻladi.
5-bosqichda esa mazkur tenglama va tengsizliklarni yordamida isbotlashga doir masalalarni echish va nihoyat oxirgi bosqichda kvadrat tenglamalar ildizlarini tekshirish parametrga bogʻliq masalalarni tahlil qilish amalga oshiriladi.Bu bosqichlarning har biridagi oʻquvchilar faoliyati ularning fikrlash faoliyatini rivojlantirishga muhim ta’sir koʻrsatadi.
Tengsizliklarni oʻrganish xususiyatlari quyidagilardan iborat: tengsizliklar nazariyasi haqida tushunchalar beriladi; echishda koʻrgazmali-grafik vositalardan foydalaniladi; echishning maxsus usullari hamda nostandart usullaridan foydalaniladi; tengsizliklarni isbotlashga doir mashqlarni echish ham amalga oshiriladi.