Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

Mustaqil oʻrganish uchun savollar:
1. Maktabda natural sonlarni oʻrganish qanday amalga oshiriladi?
2. Oddiy kasrlarni oʻrganishning qanday xususiyatlari mavjud?
3. Oʻnli kasrlarni oʻrganishda qanday tushunchalar oʻrganiladi?
4. Musbat va manfiy sonlarni oʻrganish usulllarini aytib bering.
5. Ratsional son deb nimaga aytiladi va uning qanday xossalari mak-tabda qarab chiqiladi?
6. Maktabda ratsional son tushunchasiga asos boʻlgan arifmetik ildiz-ning qanday xossalari bor?
TOʻQQIZINChI MA’RUZA
Mavzu: Algebraik ifodalarni ayniy shakl almashtirishlarni oʻrganish uslublari
1. Algebraik ifodalarni ayniy shakl almashtirishlarni oʻrganish.
2. Koʻphadlar ustida amallarni oʻrganish.
3. Koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish.
4. Algebraik kasrlar va ular ustida amallar.
Tayanch iboralar: algebraik ifoda, ayniy shakl almashtirish, koʻphad, koʻphadlar ustida amallar, koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish, algebraik kasrlar, ular ustida amallar.
1. Ayniy shakl almashtirish tushunchasini bir sonni turli xil shakllarda ifodalash bilan bogʻlash mumkin. Masalan, 47q410Q7q57Q34q 20Q27q45Q39 va xokazo. Bu ifodalarni shakl almashtirishda arifmetik amallar qonunlaridan foydalaniladi. Algebrada ham sonli ifodalar ustida turli amallarni bajarishga toʻgʻri keladi. Shuning uchun ifodani ustida turli shaklda unga kiruvchi harflarning ixtiyoriy qiymatlarida sonli qiymati oʻzgarmaydigan qilib tasvirlashga toʻgʻri keladi. Koʻrsatilgan shartda ifodani bir koʻrinishdan boshqa koʻrinishga shakl almashtirish ayniy shakl almashtirish deb ataladi.
Dastlab oʻquvchilar algebraik ifodalar ustidagi amallar faqat belgilanib, soʻngra hosil qilingan ifodalar (masalan, yigʻindi, koʻpaytma) oddiy aynan teng ifodalarga keltiriladi. Ikkinchidan, esa ayniy shakl almashtirishlar bajarayotib, oʻquvchilar bu maqsad emas, balki ular yordamida ifodalarning sonli qiymatlarini topish, tenglamalarni echish uchun va turli ifodalar ba’zi xossalarini hisoblash va oʻrganish uchun zarurligini aytib oʻtish maqsadga muvofiq [8].
Ayniy shakl almashtirishlar ma’nosi va maqsadga muvofiqligini oʻquvchilar tushunadigan bir necha misollarda koʻrsatish kerak. Masalan, toʻgʻri toʻrtburchak tomonlari uzunliklari a va v boʻlsa, uning perimetri 2(a+b)=2a+2b ifodasini shakl almashtirish qulay ekanlligini tushuntirish mumkin. Yana teng asosli va turli balandlikdagi toʻgʻri toʻrtburchaklar yuzalari yigʻindisi ifodasi shakl almashtirilishi hamda uni geometrik chizma yordamida koʻrsatish muhim ahamiyatga ega.
Butun ratsional algebraik ifodalarni oʻrganish butun ratsional ifodada qatnashgan boʻluvchi boʻlishligi, kasr ratsional ifoda esa bunday kasr boʻlishligini aytib oʻtiladi. Butun ifodalardan birhad va koʻphadlar oʻrganiladi. Birhad va koʻphadlar bilan birga na birhad, na kuphad ifoda boʻladigan ifodalar ham uchraydi. Lekin ular aynan teng ifodalarga keltirilishi mumkin. Masalan, 2x-2y-1+1 butun ifoda 2x-2y koʻphadga keltiriladi, x(x-1)/x-1+2 kasr ifoda esa x+2 koʻphadga almashtiriladi. a(a+b)/a+b – a+1 kasr ifoda esa 1 birhadga aylantirilishi mumkin.
Butun algebraik ifodalarni shakl almashtirishlarni oʻrganishda ifodaga kiruvchi harflar qiymatlari berilganda algebraik ifodada koʻrsatilgan amallarni bajarish mumkinligini aytib oʻtiladi. Bunda oʻquvchilar qavslarni ochish va oʻxshash hadlarni ixchamlash arifmetik ma’noda amallar emasligini tushunib olishlari kerak. Algebraik ifodalarni shakl almashtirishlarga bu usuldan foydalanib birhadlarni shakl almashtirish, ya’ni ularni oddiy koʻrinishga keltirish, shundan soʻng esa koʻphadlarni shakl almashtirishlarga oʻtish maqsadga muvofiq.
Koʻphadlarni qoʻshish va ayirish faqat belgilashlargina emas, ba’zi hollarda shakl almashtirishlar orqali standart shaklga keltirilishi mumkin. Bunda koʻphadlar yigʻindisi algebraik yigʻindi shaklida yozilib, unda oʻxshash hadlar ixchamlanadi, arifmetik amallar xossalariga asosan bajariladi. Bunda faqat qavslar ochiladi va ikkinchi koʻphad hadlari birinchisiga oʻz ishoralari bilan qoʻshib yoziladi. Endi esa uni standart shaklga keltirish kerak. Bundan oldida + ishorasi toʻrgan qavslarni ochish qoidasi keltirib chiqariladi.
Koʻphadlar ayirmasi birhadlar ayirmasi kabi birinchi koʻphad bilan ikkinchi koʻphadga qarama-qarshisini qoʻshish bilan aniqlanishi mumkin va shakl almashtirish oldida “–” ishora toʻrgan qavslarni ochishga olib kelinadi. Teskari amallarni, ya’ni koʻphadlarni qavsga olishni har bir holda toʻgʻri amal oʻrganilgandan keyin qarab oʻtilishi lozim.
Oldida “+” ishorasi boʻlgan qavslarni ochish qoidasini qarayotganda (masalan, 5ab+(2a-4ab+6b)=3ab+2a-4ab+6b) hosil qilingan tenglik oʻngdan chapga qarab oʻqilib, koʻphadning bir necha hadlarini oldida “+” ishorali qavsga olganda bu hadlarni qavslarga oʻz ishoralari bilan oʻtkazish mumkin. Bu erda oldida “–” ishorasi boʻlgan qavslarni ochish qoidasi ham qaraladi. Bunda oʻngdan chapga oʻqib, koʻphadning bir necha hadlarini oldida “–” ishorasi toʻrgan qavsga olish uchun birhadlarni qavsga teskari ishoralar bilan kiritish lozim.