Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

Teskari amallar xossalarining ta’rifi va toʻgʻri amallar qonunlari asoslanib keltirib chiqarish mumkin: masalan,
a+(b-c)=(a+b)-c=(a-c)+b, a-(b+c)=(a-b)+c=(a+c)-b,
Bunga oʻxshash boshqa xossalar ham oʻrganiladi:
a(b:c)=(a b):c, (a:c) b yoki a(b:c)=(a:b)c=(a c):b
va hokazolar.
Amallarni oʻrganishda komponentlar oʻzgarishi amallar natijalari oʻzgarishiga olib kelishini koʻrsatish lozim, masalan, 3276+534 yigʻindida:

1. 
   birinchisida yuzlar soni 3 ga oshirilsa;
   
2. 
   birinchisida minglar soni 2 ga, ikkinchisida 1 ta oshirilsa;
   
3. 
   oʻnlar soni 5 ga, yuzlar soni 4 ga kamaytirilsa yigʻindi qanday oʻzgaradi? kabi savollarni berish mumkin.
   

Koʻpaytmaning oʻzgarishiga doir quyidagi masalalarni taklif etish mumkin:
1. Kvadratning tomoni 2 marta oshirilsa, kvadrat perimetri qanday oʻzgaradi?
2. Toʻgʻri toʻrtburchakning eni 4 sm, boʻyi 6 sm. a) enini 2 marta oshirsak; b) boʻyini 3 marta kamaytirsak uning yuzi qanday oʻzgaradi?
3. 27615=4140 ma’lum, 276015 va 9215 ifodalarni qanday qisqa yoʻl bilan hisoblash mumkin?
4. Hisoblamasdan koʻpaytma qanday oʻzgarishini ayting:
30040, 2875, 32410 boʻlsa, 300(403), (2877)5, (32425)10
Natural sonlarni boʻlishda quyidagi asosiy masalalar qaraladi:
a) Boʻlinish alomatlari;
b) Sonlarni tub koʻpaytuvchilarga ajratish;
v) Bir nechta sonning umumiy buluvchilarini topish;
g) Bir nechta sonning eng kichik karralisini topish.
Boʻlinish alomatlaridan 2, 3, 5 va 9 ga boʻlinish alomatlari qaraladi. Bunda:
1) Bir sonning ikkinchi songa boʻlinish alomati deb, birinchi sonning ikkinchisiga boʻlinishining zarur va etarli shartiga aytiladi;
2) Agar ikki qoʻshiluvchidan birortasi biror songa boʻlinsa, u holda butun yigʻindi bu songa boʻlinishi uchun ikkinchi qoʻshiluvchi shu songa boʻlinishi zarur va etarlidir;
3) Ikki koʻpaytuvchi koʻpaytmasi berilgan songa boʻlinishi uchun bir koʻpaytuvchi bu songa boʻlinishi etarlidir kabi mulohazalar oʻquvchilarga bayon etilishi zarur.
Kuzatishlar quyidagi sohalarda amalga oshirilishi mumkin:
1) har bir qoʻshiluvchi biror songa boʻlinsa yigʻindi ham oʻsha songa boʻlinadi;
2) birorta qoʻshiluvchi birorta songa boʻlinmasa, boshqalari unga boʻlinsa, yigʻindi bu songa boʻlinmaydi;
3) agar ikkita qoʻshiluvchidan birortasi berilgan songa boʻlinmasa, u holda yigʻindi ba’zida oʻsha songa boʻlinadi, ba’zida boʻlinmaydi. (8+7):5 – qoldiqlar yigʻindisi 5 ga boʻlinadi va yigʻindi 5 ga boʻlinadi; (8+8):5 qoldiqlar yigʻindisi 5 ga boʻlinmaydi, yigʻindi ham 5 ga boʻlinmaydi. Xulosa: agar har bir qoʻshiluvchi berilgan songa boʻlinmasa, yigʻindi bu songa boʻlinadi, agarda qoldiqlar yigʻindisi shu songa boʻlinsa.
Sonlarni tub koʻpaytuvchilarga ajratishni oʻrganishda Eratosfen (eramizgacha 276-132 yillar) “gʻalviri” haqida gapirib beriladi. Avvalo 3 va 4 sonlariga karrali sonlar yozib chiqiladi va umumiy karralilar ichida eng kichigi eng kichik umumiy karrali deb atalishi ham aytib oʻtiladi.
Eng kichik umumiy karralini va eng katta umumiy buluvchilarni topish qoidalari keltirib chiqariladi va ular turli hollarda misollarga tadbiqlari qaraladi.
2. Maktabda ratsional sonlarni oʻrganish oddiy kasrlarni qarab chiqishdan boshlanadi. Oddiy kasrlarni kiritishda oʻquvchilarga “ulush”, “qism” tushunchalari, ularning hayotiy tasavvurlari asosida tushuntirish yaxshi natijalar beradi.
Bunda geometrik figuralar (doira, kvadrat, kesma) qismlari haqida gapirib oʻtish mumkin. Umuman, kasr – natural sonlar jufti boʻlib, (surati nol ham boʻlishi ham mumkin) surati natural songa va maxraji birga teng deb hisoblash mumkin. Quyidagi mulohazalar ham bayon qilinishi maqsadga muvofiq: har qanday natural son va nol kasr shaklida ifodalanishi mumkin, lekin har qanday kasr ham natural son shaklida yozilavermaydi.
Kasrlarni taqqoslashni oʻrganishda bir xil maxrajli kasrlarni taqqoslash usuli qaraladi, har xil maxrajlarni taqqoslash ular ustida qoʻshish va ayirish amallari oʻtilgandan sung qaraladi. Kasrlarni taqqoslash ularni umumiy maxrajga keltirish, sungra esa suratlarni taqqoslash bilan amalga oshiriladi yoki kasrning 1 dan qancha farq qilishiga qarab ham taqqoslashga oʻrgatish mumkin. Bunda ikki hol mavjud:
a) kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltirib taqqoslash;
b) umumiy maxraj ular maxrajlarini koʻpaytirish yordamida topilib, sungra kasrlarni taqqoslash.
Ikkinchi usul oddiy boʻlsada, katta sonlarni hisoblashga olib keladi, umuman, oddiy kasrlar ustida amallarni bajarish na faqat bir amalni bajarish balki ma’lum algoritmni amalga oshirishni talab etadi, masalan, qoʻshishni bajarishda quyidagi amallar ketma-ketligi bajariladi:

1. 
   umumiy maraj izlanadi;
   
2. 
   qoʻshimcha koʻpaytuvchilar topiladi;
   
3. 
   kasrlar suratlarini bu qoʻshimcha koʻpaytuvchilarga koʻpaytirish orqali amalga oshiriladi;
   
4. 
   hosil boʻlgan koʻpaytmalar yigʻindisi topiladi.
   

Mazkur algoritmni oʻrgatishda quyidagi mashqlar ketma-ketligini bajarish maqsadga muvofiq:
a) oʻzaro tub maxrajlarga ega kasrlarni qoʻshish va ayirish (masalan, ²/₃ va ј kasrlar);
b) birining maxraji ikkinchisining karralisi boʻlgan kasrlarni qoʻshish va ayirish (masalan, 1/3 va 1/12 kasrlar);
v) ixtiyoriy maxrajli kasrlarni qoʻshish va ayirish;
g) butun qismini ajratish zarur boʻladigan yigʻindilarni topish (masalan, 0,6=2/5);
d) birni kasr sifatida ifodalash zarurati boʻlgan ayirish (masalan, 1-2/5).