Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

Kasrni butun songa boʻlish koʻpaytirishga teskari amal sifatida qaraladi: 4:5=x, x5=4.
Butun sonni butun songa boʻlish uchun suratni boʻlinuvchi, maxraji boʻluvchiga teng kasr hosil boʻladi. Ikki xil usul kelib chiqadi: umumiy usul – har qanday hol uchun ham oʻrinliligini koʻrsatish mumkin: 8/15:4=8/154=2/15. Kasrni qisqartirishda 4/96 koʻrinishdan foydalanish mumkin.
Aralash kasrni butunga boʻlishning ikki usuli mavjud:
1. Aralash kasrni notoʻgʻri kasrga aylantirish va soʻngra kasr butunga boʻlinadi;
2. Yigʻindi kabi boʻlishga taqsimot qonuni qoʻllaniladi va butun kasr qismlari alohida boʻlinadi.
Kasrni koʻpaytirishni oʻrganishda konkret mazmunli masalalar echish bilan qoʻshib olib boriladi. Mashqlar tizimi quyidagicha boʻladi:

1. 
   60 ning qismi (butun son);
   
2. 
   Butun sonning qismini topish (natija – butun son);
   
3. 
   Kasrning qismini topish.
   
4. 
   Misol ning qismini toping.
   

Echish:

Qoida: kasrlarni koʻpaytirish uchun ularning suratlarini suratlariga, maxrajlarini maxrajlariga koʻpaytiriladi.
Umuman, oʻnli kasrlarni oʻrganish quyidagi reja asosida olib boriladi: ta’rif, oʻnli kasrlarni yozish va oʻqish, oʻnli kasrlarni almashtirishlar, oʻnli kasrlarni taqqoslash, oʻnli kasrlar ustida amallar, oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish. Bunda :
a) har bir oʻnli kasrni maxrajlari 10, 100, 1000, … boʻlgan kasrlar yigʻindisi shaklida tasvirlash mumkin;
b) oʻnli kasrni yozishda raqamlar joylashgan oʻrni ahamiyatga ega ekanligini koʻrsatish mumkin.
Kasrlarni almashtirish va taqqoslashda quyidagi mashqlar qaralishi mumkin:
1. 0,3; 0,30; 0,300 kasrlarni taqqoslang;
2. Mingdan bir ulushlarda tasvirlang: 0,7; 0,08; 7,8; 4; umumiy maxrajga keltiring: 0,25; 0,9; kasrlarni taqqoslang: 1,8500 va 10,400. Oʻnli kasrni qoʻshish va ayirish qoidalari ishlab chiqiladi, bunda ularni ustma-ust yozish, bir ulushlarni bir-birining ustida boʻlishi, razryadlar boʻyicha qoʻshish va ayirish kerak. Har bir amal alohida qaralib, mashqlar sistemasi xususiy hollarni qamrab olishi lozim. Masalan, ayirishda: kamayuvchi va ayriluvchi oʻnli belgilar soni bir xil; kamayuvchida ayriluvchiga qaraganda oʻnli belgilar soni kam; kamayuvchi ayriluvchiga qaraganda oʻnli belgilar soni koʻp; butundan oʻnli kasrni ayirish;
Oʻnli kasrlarni koʻpaytirishda quyidagi hollar qaraladi: kasrni butun songa koʻpaytirish; yigʻindiga koʻpaytirish; oʻnli kasrni 10 ning darajalariga koʻpaytirish kabi xususiy hollar qaraladi.
Oʻnli kasrlarni boʻlish: Oʻnli kasrni butunga boʻlishda 10, 100, … larga boʻlish koʻrsatiladi, bunda kasrning 10, 100 va hokazolarga koʻpaytirish, surati oʻzgarmas boʻlib kolishi tushuntiriladi.
7. Musbat va manfiy sonlar.
Manfiy sonlar - ob’ekt holatining biror belgisi sifatida, masalan, darajasi, kabi talqin etilib, mazmunan son ham emasligi y=tiriladi. Shunday vaziyatga misollar keltirish kerakki, ular uchun sonli xarakteristikada yana yoʻnalishlarni ham koʻrsatish kerak boʻlsin, masalan, oʻngga – chapga, yuqoriga-pastga, A punktdan V punktga, V punktdan A punktga va hokazo. Shuning uchun yoʻnalish haqidagi soʻzga yana qisqaroq simvolik yozuv – “minus” ishorasi ishlatiladi.
Geometrik jihatdan shu vaqtgacha nur oʻrganilgan boʻlib, unga son nuri mos keladi. Manfiy sonlarni kiritish bilan toʻgʻri chiziq nuqtalari va son oʻqi mosligi oʻrnatiladi, u koordinata toʻgʻri chizigʻi deyiladi.
Manfiy sonlarni kiritishda yangi sonlar tushunchasi ta’riflanmaydi. Asosiy tasavvurlar koʻrgazmali ayoniy asosga ega boʻladi. Lekin nuqtadan sanoq boshigacha boʻlgan masofa sifatida modul tushunchasi, qarama-qarshi sonlar koordinata toʻgʻri chizigʻida sanoq boshiga nisbatan simmetrik nuqtalar kabi tasvirlanuvchi sonlar sifatida oʻrganiladi.
Manfiy sonlarni yozish unchalik qiyinchilik tugʻdirmaydi, lekin “nima uchun minus million yuzdan, birdan kichik” degan savolga javob berish uchun koordinata toʻgʻri chizigʻiga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Bunda “kichik” soʻzining ma’nosi koordinata toʻgʻri chizigʻida “nuqtadan chaproqda joylashgan” ma’nosini beradi.
Sonlarni taqqoslash boʻyicha natijalar qoidalar shakliga keltiriladi va bular kuzatishlar va masala echish usullarini umumlashtirish orqali bayon qilinadi.
Musbat va manfiy sonlar toʻplamidagi amallar oʻnli kasrlardan farqli uslub jihatidan xususiyatlarga ega. Qoʻshish nuqtaning son oʻqidagi holati oʻzgarishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi, ayirish esa teskari amal sifatida qaralib, songa qarama-qarshi sonni qoʻshish kabi aniqlanadi.
Minus ishorasining ikki yoqlamali ma’nosini aytib oʻtish maqsadga muvofiq: biror sonni xarakteristikasini koʻrsatish uning qarama-qarshiligini koʻrsatish yoki amalni bajarish uchun buyruqni bildiradi. Nazariyani formal oʻzlashtirish –a –(-b) kabi ifodalarni hisoblashga imkon beradi. Lekin bundagi qiyinchilik va xatolar oʻqituvchi ish sur’atining tezligidan dalolat beradi, ifodalarni soddalashtirishda son oʻqiga murojat kilishga, har bir qadamni tushuntirishni talab qilishi zarur.
+ va – amallari mustahkamlab bilan malakalar juda tez esdan chiqariladi, shuning uchun ularni bayon etishda sekin asta borish lozim. Koʻpaytirish va boʻlish musbat sonlardagi usullar yordamida amalga oshiriladi. Vergullar qoidasi bayoni oddiy, lekin tezlikda esga solinadi, oʻquvchilar uni ishonch bilan qoʻllaydilar.
Agar koordinata boshiga nisbatan ikki nukta simmetrik boʻlsa, ularga mos keluvchi sonlar oʻzaro qarama-qarshi sonlar deyiladi. Bunda quyidagi mashqlar muhokama qilinadi:
1. Agar a- musbat son boʻlsa, –a son musbat yoki manfiy boʻladimi?
2. –a musbat yoki manfiy sonmi?
3. Agar aq0 ga teng boʻlsa, –a nimaga teng boʻladi?
0 na musbat, na manfiy son ekanligi ta’kidlanadi.
Absolyut qiymat ta’rifi beriladi. Oʻquvchilar uni oʻzlashtirishlariga quyidagi mashqlarni taklif etish mumkin: (5), (-3), 0 sonlari modulini toping. 5, 3, 2, 1,… lar qanday modulga ega va ularga mos keluvchi nuqtalarni toping.
Oʻzaro qarama-qarshi sonlar bir xil modulga ega va aksincha ikki sonning modullari teng boʻlsa, bu sonlar teng yoki qarama-qarshi sonlar.
Ikkita teng boʻlmagan musbat a va v sonlar uchun: agar a v dan katta boʻlsa, a songa mos keluvchi nuqta son oʻqida v songa mos keluvchi nuqtadan oʻngda, aks holda chapda joylashgan boʻlishligi aytib oʻtiladi.
Shunday qilib, har qanday manfiy son musbat sondan kichikligi, har qanday musbat son 0 dan katta, har qanday manfiy son 0 dan kichikligi koʻrsatiladi. Ikkita musbat sondan moduli boʻyicha katta boʻlgani katta ekanligi, ikkita manfiy sondan kichik modulga ega boʻlgani katta ekanligi koʻrsatiladi.
5. Ratsional sonlarni qoʻshish va koʻpaytirishni oʻrganishda bir nechta mazmunli masalalarni echish bilan boshlash mumkin: masalan, xazinachi 30 soʻm, yana 10 soʻm qabul qildi, xazinaga qancha pul tushgan? Ertalab havo 5⁰ S issiq edi, tushga borib daraja 6⁰ S ga oshdi.Tushda necha gradusni koʻrsatgan?
Qoida: Agar son oʻqidan foylanilsa, a songa mos keluvchi nuqtada v uzunlikdagi kesmani qoʻysak, kesmaning oxiriga mos keluvchi son berilgan sonlar yigindisi a+v ga mos keladi.
Musbat va manfiy sonlarni qoʻshishda quyidagi masalalar qaralishi mumkin: Havo harorati ertalab a⁰ S edi, tushda v⁰ S ga oʻzgardi, tushda harorat qancha boʻlgan? Daryoda suv saviyasi kechasi a m ortiq edi, bugun uning saviyasi qancha?
Qoida: bir xil ishorali ikkita ratsional sonlarni qoʻshishda ularning modullari qoʻshiladi va ularning umumiy ishorasi saqlanadi.
Turli xil ishorali sonlarni qoʻshishda katta modulli sondan kichigi ayriladi va moduli katta boʻlgan son ishorasi qoʻyiladi.
Ikkita qarama-qarshi sonlar yigʻindisi nolga teng, qoʻshiluvchilardan birortasi nolga teng boʻlsa, yigʻindi ikkinchi qoʻshiluvchiga teng boʻladi. Oʻrin almashtirish va guruhlash qonunlari oʻrinli va bular sonlarda qarab chiqiladi.
Barcha musbat qoʻshiluvchilar va manfiy qoʻshiluvchilarni alohida birlashtirish bu yigʻindini topish, soʻngra yigʻindilar modullari ayirmasini topish, bu ayirmaga Q qoʻyish, agar musbat qoʻshiluvchilar yigʻindisi moduli manfiy qoʻshiluvchilar yigʻindisi modulidan katta boʻlsa, aks holda, - qoʻyiladi.
Ratsional sonlarni ayirishni qoʻshishga teskari amal sifatida qarab ya’ni, a sondan v sonni ayirish deb shunday s songa aytiladiki, uning v bilan yigʻindisi a ga teng boʻladi.