Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

Koʻpxadlarni koʻpaytirishni oʻrganayotganda avvalo arifmetik misollar bir xonali sonni ikki xonali songa, ikkita ikki xonali sonni va koʻp xonali sonlarini koʻpaytirish misollari koʻrsatilishi maqsadga muvofiq.
Sonlar koʻpaytmasini koʻpaytirishning taqsimot qonuni asosida topamiz: misollar, 825=8(20+5)=820+85. Bu qoidani birhadni birhadga koʻpaytirishda qoʻllaymiz. Masalan, r(a+b)=ra+rv. oʻquvchilarga koʻpaytirishning bu taqsimot qonuni yozuvi deb bayon etish mumkin. Keyin ikki xonali sonlar koʻpaytmasini hisoblash tartibini qaraymiz.
Misol: 9498=94(10-2)=94100-942=(100-6)100-(100-6)2 va x.k. yoki

Shunday qilib, koʻphadlar algebraik yigindisida shakl almashtirish tartibini topamiz:
(a+b)∙(c+r)=ac+bc+ar+br, (a-b)∙(c-r)=ac-bc-ar+br.
Keyin hadlari koʻp boʻlgan koʻphadlar koʻpaytmasini shakl almashtirishlarini qarash mumkin. Boshidagi qoida asosida va mulohazalar ketma-ketligi bilan amalga oshirish zarur.
Koʻpaytuvchilarning birortasini almashtirib ham koʻphadlarni koʻpaytirishga erishish mumkinligini aytib oʻtish mumkin. Masalan, (x+y=r)∙(a+b) da birinchi koʻpaytuvchini biror oʻzgaruvchi bilan almashtirib soddarok koʻphadni hosil qilamiz. Soʻngra uning ifodasini oʻrniga qoʻyib, natijani hosil qilamiz. Ikki koʻpaytuvchidan uchta va undan ortiq koʻpaytuvchilarni koʻpaytirishga oʻtish mumkin. Qoida: ishoralar qoidasini qoʻllab koʻpaytuvchi har bir hadini ketma-ket koʻpaytuvchini birinchi hadga, soʻngra ikkinchi hadga va h.k.ga koʻpaytirish, xosil boʻlgan koʻpaytmalarni qoʻshish, ya’ni ularning yigʻindisini yozish kerak. Koʻpincha oʻquvchilar buni sistemali bajarmay xatoga yoʻl qoʻyadilar. Shuning uchun birinchi qadamlardanoq oʻrnatilgan tartib qoidaning bajarilishini talab qilish lozim.
Koʻphadlarni formula boʻyicha koʻpaytirishda quyidagi mashqlar yordamida amalga oshirilishi mumkin:
1) a va v sonlar berilgan. Quyidagi ifodalar ma’nosini ayting:
a+b, a-b, 2ab, (a+b)(a-b).
2) Ikki son yigʻindisi kvadrati formulasidan foydalanib, ikki son ayirmasi kvadrati formulasini chiqaring.
3) (a-b)²=(b-a)² ayniyatni isbotlang.
4) Formulalarni keltirib chiqarishda geometrik tasvirlardan foydalaning.
5) Keltirib chiqarilgan formulalarga doir mashqlarni qiyinlashtirib borish kerak.
6) Kiska kupaytirish formulalarining hisoblashlarga tadbiqiga doir misollar koʻrish lozim.
Koʻphadlarni boʻlishni oʻrganishda koʻp xonali sonni bir xonali songa boʻlish qanday bajarilishini eslash foydali. 248:8q(200:8)Q(8:8). Shunga oʻxshash qoida keltirilib chiqariladi: koʻphadni birhadga boʻlinmasi koʻphadning har bir hadini birhadga boʻlinmalari yigʻindisiga almashtiriladi.
Masalan,
(8ab-2a):2a=(8ab:2)-(2a:2a)=2b-1.
Koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratishda quyidagi savollar berilishi mumkin:
a) 18a²b⁴ birhad berilgan. Qaysi birhadlar koʻpaytmasi shaklida tasvirlash mumkin?
b) a²+ab koʻphadni qanday koʻpaytuvchilar koʻpaytmasi shaklida tasvirlash mumkin?
Natija: a) har bir hadni turli koʻpaytuvchilar koʻpaytmasi shaklida tasvirlash mumkin, lekin bu almashtirish afzalliklar bermaydi;
b) koʻphadga har bir had bir xil koʻpaytuvchiga ega boʻlsa, uni qavsdan tashqariga chiqarish mumkin.
Bunday mashqlarni qisqa koʻpaytirish formulalari oʻrgangandan soʻng ham echish mumkin. Masalan, ifodalar qiymatlarini hisoblashga doir mashqlar beriladi. Qavsdan tashqariga chiqarish orqali hisoblashni osonlashtirishga doir mashqlar taklif etiladi va bunda taqqoslashni amalga oshirish kerak. Oʻquvchilarda koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish – bu uni butun ifodalar koʻpaytmasi shaklida tasvirlash tushunchasi paydo boʻladi. Koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish tugatilgan boʻladi, agar koʻpaytmada har bir koʻpaytuvchi yana koʻpaytuvchilarga ajralmaydigan boʻlsa, bu bilan oʻquvchilarda a+ab+1+b=a(1+b)+(1+b) kabi hollarda yana koʻpaytuvchilarga ajratish zarurligiga olib keladi.
6. Algebraik kasr asosiy xossasidan foydalanganda kasr oldidagi ishora oʻzgarishiga, agar surat va maxraj koʻphadlar boʻlsa, surat va maxraj oldidagi ishorani oʻzgartirish koʻphadning har bir hadi oldidagi ishorani oʻzgartirish bilan teng kuchli. Oʻquvchilar bunda quyidagi xatoga yoʻl qoʻyadilar
(c-r)/c+r=-(c+r)/c+r.
Oʻquvchilarga surat va maxraj koʻpaytuvchilari qarama-qarshi ifodalar boʻlsa, kasrni qisqartirish imkoniyati borligini tushuntirish lozim. Bu holda kasr komponentlari ishorasini oʻzgartirmaslik kerak, kasrni shakl almashtirmasdan qisqartirish kerak. Masalan,
a-4/a+4=-(4-a)/4+a.
Algebraik kasrlarni qoʻshish va ayirishni kasrlar yigindisini bitta kasrini ayniy shakl almashtirish sifatida qaraladi. Bunda oddiy kasrni qoʻshish va ayirish qoidalarini eslatish, bunga uxshash algebraik kasrlar uchun amallar qoidalari keltirib chiqariladi.
Kasrlarni qisqartirish va qoʻshishda koʻphadlarning eng katta buluvchisi va kasrlar maxrajlari eng kichik umumiy karralisi masalasi paydo boʻladi. Lekin bu tushuncha alohida koʻrsatilmaydi.
Turli maxrajli kasrlarni qoʻshish va ayirishda quyidagi ketma-ketlikka rioya qilish zarur: dastlab kasrlar marajlari umumiy koʻpaytuvchisiga ega boʻlmagan xol, masalan, 2x/5r+x/3r soʻngra kasrlardan birinchi maxraji boshqa kasrlar maxrajlari uchun karrali boʻlgan xol, masadan, 5a/20b+4a/5b kasrlar qaraladi va nihoyat hech bir maxraj boshqalarga karrali boʻlmagan, lekin ba’zilari yoki hammasi umumiy koʻpaytuvchiga ega, masalan, ax/10ab+4x/15b+3x/18bc qoʻshishga doir shakllar orasida umumiy maxrajga keltirishda kasr oldidagi ishorani oʻzgartirish toʻgri keladigan mashqlar ham boʻlishi maqsadga muvofiq.
Koʻpaytuvchilarga ajratish va umumiy maxrajni topish quyidagicha yozilishi mumkin: 3a/2a-2b-a-2/3a+9+8a-b/27-3a²., bunda 2a-2b ga qoʻshimcha koʻpaytuvchi 3(a+3), 3a+9 ga qoʻshimcha koʻpaytuvchi 2(a-3), 27-3a² ga qoʻshimcha koʻpaytuvchi –1. Umumiy maxraj 6(a-3)(a+3). Algebraik yigindi 7a/6(a-3) ga teng.
Kasrlarni oʻrganishda berilgan kasrlar ma’noga ega boʻlgan shartlarni ham tahlil etish va hisobga olish zarur.
Shuningdek, algebraik ifodalar tuzishga oid matnli masalalarni echishga e’tibor berish ham mumkin.Boʻlish va koʻpaytirish qoidalari ham oddiy kasrlarga oʻxshash holda keltirilib chiqariladi.