O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

1.3. Hosil qiluvchi funksiyalarning qo’llanilishi

Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish o‘yg‘otishini ta’kidlaymiz. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz.
Misol 1.3.1 Berilgan chekli, butun va manfiymas son uchun hadlari
formula asosida aniqlangan sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin, bu yerda - binomial koeffitsientlar. Bu sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
Nyuton binomi formulasiga ko‘ra

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan butun son uchun ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasi ko‘rinishga egadir.
Quyidagi teorema ularning xossalaridan yana birini ifodalaydi.
Teorema 1.3.1. [3] Ixtiyoriy natural sonlar uchun quyidagi tenglik o‘rinlidir:

Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin sonni qo‘yib,

ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) hosil qiluvchi funksiyani topamiz.
Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:



Endi hosil bo‘lgan tenglikni funksiyaga nisbatan tenglama deb qarab,

ketma-ketlikning hosil qilish funksiyaga ega bo’lamiz.
Teorema 1.3.2.[3] Fibonachchi soni uchun tenglik o‘rinlidir.
Tasodifiy miqdorning qiymatlari manfiy bo’lmagan butun sonlardan iborat bo’lgan xususiy, ammo juda muhim bo’lgan holda uning xarakteristik funksiyasi

bo’ladi. Agar oxirgi tenglikda belgilash kiritsak , u holda hosil bo’lgan funksiyani quyidagi
(1.3.2)
ko’rinishda ifodalaymiz va uni ehtimollik hosil qiluvchi funksiya deb ataymiz.
U holda
(1.3.3)

tengliklarning o’rinli ekanligini qayd etib o’tamiz.
(1.3.2) tenglikning o’ng tomonidagi darajali qator kompleks sonlar tekisligining markazi 0 nuqtada va radiusi esa formula bilan aniqlanuvchi doirada yaqinlashadi.
(1.3.4)
tenglik o’rinli bo’lgani uchun (1.3.2) va (1.3.4) formulalar tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni bilan hosil qiluvchi funksiyasi orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatadi.
Avvalgi parafrafda keltirilgan sonlar ketma-ketligi hosil qiluvchi funksiyalarining ba’zi xossalarini ehtimollik hosil qiluvchi funksiyalari uchun ham keltirish mumkin.