O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

Natija 2.1.1. Agar bo’lsa, u holda

Yuqorida ta’kidlaganimizdek, Galton-Vatson tarmoqlanuvchi jarayoni Markov zanjirini tashkil etadi. Aytaylik to’plamda

ehtimollik taqsimoti berilgan va , butun sonlar uchun

- taqsimotning j nuqtada o’zi bilan k marta kompozitsiyasi bo’lsin.
Ma’lumki, agar bo'lsa, va bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo’lib, barcha uchun (d - belgisi taqsimot bo’yicha yaqinlashishni anglatadi) bo’lsa, u holda


Ta’rif 2.1.1. to’plamda boshlang’ich ehtimollik taqsimoti va

o'tish ehtimolligi bilan berilgan Markov zanjiri Galton – Vatson tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayoni deyiladi.
Odatda, alohida ta’kidlanmasa boshlang’ich taqsimotni

ko’rinishida olinadi, ya’ni dastlab Galton-Vatson jarayoni bitta zarradan boshlanadi deb olinadi.
Teorema 2.1.2. [15] Holatlar to’plami bo’lgan Markov zanjirining o’tish matritsasi P bo’lib, birorta uchun matritsaning barcha elementlari musbat bo’lsa u holda
(2.1.1)
munosabat o’rinli. limitlar - boshlang’ich holatga bog’liq emas va ular
, , (2.1.2)
tenglamarlar sistemasining yagona yechimidan iborat.
Teorema 2.1.1 dan foydalanib, ning qiymatini topamiz. bo’lsin. U holda ixtiyoriy uchun


ya’ni
.
Demak, tarmoqlanuvchi jarayonlar bitta zarracha avlodlarining o’rta qiymati ning turli qiymatlarida turli sifatiy xossalarga ega:
agar bo’lsa, u holda va bunday jarayon subkritik jarayon deyiladi;
agar bo’lsa, u holda va bunday jarayon kritik jarayon deyiladi;
agar bo’lsa, u holda va bunday jarayon supperkritik jarayon deyiladi;
Bu atamalar kimyoviy yoki yadroviy tasniflashga mos keladi:reaksiya yoki juda tez tugaydi(odatdagi shartlardagi kabi) yoki taxminan bir xil o’zgarmas holatda turadi ( yadroviy reaktordagi kabi), yoki bo’lmasa yadroviy portlash sodir bo’ladi.
Matematik kutilmaning holati bilan bir qatorda, tarmoqlanuvchi jarayonning muhim xaraktesirtikalaridan yana bittasi ehtimolning limitidan iborat bo’lgan, jarayonning yo’q bo’lib ketish ehtimolidan iborat ( 0 holat yutib qoluvchi holat ekanligini eslatib o’tamiz):

Teorema 2.1.3. [15] Agar bo`lsa Galton-Vatson jarayoning yo’q bo’lib ketish ehtimoli . Agar bo`lsa, yo’q bo’lib ketish ehtimoli tenglamaning 1dan kichik nomanfiy ildizidan iborat.
Teorema 2.1.3 ni isbotlash jarayonida quyidagi lemmadan foydalaniladi.