O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

Lemma 2.1.1. - nomanfiy butun qiymatli tasodifiy miqdorning shartni qanoatlantiruvchi hosil qiluvchi funksiyasi bo’lsin.

1. 
   Agar bo’lsa, u holda bo’lganda tengsizlik o’rinli.
   
2. 
   Agar bo’lsa, u holda shunday son mavjudki, uning uchun
   

Munosabatlar o’rinli.
Natija 2.1.2. Agar bo’lsa va faqat shundagina tarmoqlanuvchi jarayonning yo’q bo’lib ketish ehtimoli birdan kichik.
Teorema 2.1.4. [15] bo’lgan tarmoqlanuvchi jarayonning barcha musbat holatlari ahamiyatga molik emas: agar bo’lsa, u holda .
Teorema 2.1.5. [15] Agar va bo’lsa, u holda shartni qanoatlantiruvchi shunday tasodifiy miqdor mavjudki, u uchun
va
munosabatlar o’rinli. Shu bilan birga tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi tenglamani qanoatlantiradi.

2.2. Immigratsiyali Galton-Vatson tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlari

Amaliy masalalarda ko’pincha Galton-Vatson tarmoqlanuvchi jarayoniga ba'zi tasodifiy mexanizmga ko'ra kelib qo’shiluvchi tasodifiy sondagi zarralar paydo bo'ladi, ular keyinchalik asosiy jarayon zarralari sifatida rivojlanib boradi. Masalan, demografik jarayonlarda ma'lum bir vaqtda kelgan muhojirlarni shunday zarralar deb hisoblash mumkin. Biologik populyatsiyalarda immigrantlar populyatsiyaga tashqi muhitdan kirib kelgan elementlardir. Va nihoyat, boshqariladigan zanjirli reaktsiyalarda immigratsiya doimiy quvvat darajasini saqlab turish uchun tashqi manbadan reaktorga kiradigan zarralar oqimi hisoblanadi.
Bunday jarayonlarni quyidagicha talqin qilish mumkin. va bog’liqsiz manfiy bo'lmagan butun qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdorlarning ikkita oilasi bo'lsin. Biz jarayonini quyidagi munosabat bilan aniqlaymiz
(2.2.1)
bu yerda . Agar va tasodifiy miqdorlar mos ravishda momentda yashaydigan i-chi zarrachaning avlodlari soni va momentda kelib qo’shiluvchi zarralar soni sifatida talqin qilinsa, u holda immigratsiyali Galton-Vatson jarayonining momentidagi zarrachalar soni bo'ladi. tasodifiy miqdorlarni bir xil taqsimotga ega va hosil qiluvchi funksiyasi

deb olinadi. Bundan tashqari, ichki jarayon zarrachalari bir xil taqsimot qonuni bo'yicha ko'payadi deb faraz qilamiz. Bu barcha juftliklar
uchun bir xil taqsimlangan va

o’rinli.
Agar sifatida mos immigratsiyasiz jarayonni belgilasak, u holda

bu yerda - ning -chi iteratsiyasi ( ).
jarayonning asimptotik xossalarini o’rganish juda muhim masalalardan hisoblanadi. jarayonning hosil qilish funksiyasini orqali belgilasak, (1) dan

formulani olamiz, uning ketma-ket qo'llanilishi
(2.2.2)
formulani beradi.