O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

Sonli harakteristikalari(momentlari): Agar va bo`lsa, u holda ning birinchi tartibli momenti
ga teng.
ning hosil qiluvchi funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosilasini dagi qiymati ga teng bo`ladi.
Isbot:

Teorema 2.2.1. [11] Agar va bo'lsa, u holda da ning taqsimoti zichlik funksiyasi quyidagicha bo'lgan gamma taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy miqdorga yaqinlashadi:

Keyingi teorema shuni ko'rsatadiki, jarayoni uchun kritikkacha (subkritik) holatda limit taqsimot mavjud.
Teorema 2.2.2. [11] a) Agar yoki bo'lsa, u holda har qanday n va uchun

b) Agar va bo’lsa, u holda

mavjud va - ehtimollik taqsimoti, ya’ni .
Quyidagi teorema kritikdan keyingi (nadkritik) holatda statsionar taqsimotini beradi.
Teorema 2.2.3. [11] Agar bo'lsa, unda musbat sonlar ketma-ketligi mavjudki, ehtimollik bilan ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilar ga yaqinlashadi. Agar bo'lsa, u holda va , da mutlaqo uzluksiz taqsimotga ega. Agar bo’lsa u holda bo’ladi.

2.3. Foster-Peykes tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlari va ularning asimptotik tahlili

Ushbu parahrafda maxsus tipdagi immigratsiyaga ega tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlarga to’xtalib o’tamiz. Holatga bog'liq immigratsiyali Galton-Vatson tarmoqlanuvchi jarayonlari dastlab Foster [1] va Pakes [2] tomonidan ko'rib chiqilgan. Shu sababli, holatga bog'liq immigratsiyali Galton-Vatson jarayonlarini Foster-Pakes jarayoni deb yuritila boshlandi. Foster-Peykes jarayonini quyidagicha tushunish mumkin.
Aytaylik Galton-Vatson jarayonining vaqtdagi zarralar soni bo'lsin Ma'lumki, Galton-Vatson jarayonini

hosil qilish funksiyasi orqali aniqlash mumkin.
Agar biror butun soni uchun bo'lsa, u holda shu - momentda populyatsiyaga (jarayonga) sondagi zarralar kelib qo'shiladi, qo'shilgan zarralar sonininig evolyutsiyasi keyinchalik hosil qilish funksiyali odatdagi Galton-Vatson jarayoni qonuniga bo'ysunadi. Yuqorida aytib o'tilgan va ishlarda bo'lgan hol qaralgan. Bunday jarayonlarda biror butun son bo'lgan tarmoqlanuvchi jarayonlar va ishlarda ko'rilgan. Demak agar biror butun soni uchun bo'lsa, u holda shu - momentda populyatsiyaga (jarayonga) ehtimollik bilan sondagi zarralar kelib qo'shiladi. Shunday qilib immigratsiya ta hosil qiluvchi funksiya bilan beriladi

Bunday jarayonning n vaqtdagi zarralar soni bo’lsin. Aniqlik uchun deb qabul qilamiz. jarayonlar holatlari soni sanoqli va o’tish ehtimolliklari bo’lgan bir jinsli Markov zanjirini hosil qiladi, bu yerda

Quyidagi shartlar bajarilgan deb faraz qilaylik:

1. 
   
   
2. 
   barcha lar uchun ,
   

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:


bu yerda - ehtimollik, jarayon 0 boshlanib, qadamda holatiga avval hech qachon 0 bo’lmasdan o’tish ehtimolini bildiradi.

Markov zanjiri ning qisqartirilmaydigan ekanlidan, 0 holatiga har qanday holatidan erishish mumkinligi kelib chiqadi. Shuning uchun (qarang [11]).

Aytaylik bo’lsin va
shart bajarilsin.
Usbu jarayon uchun quyidagi teoremalar o’rinli.