O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

2⁰ . Agar va lar o’zgarmas sonlarlar bo’lib bo’lsa, u holda

Ta’rifga asosan:

3⁰ . Ikkita bog’lansiz tasodifiy miqdorlar yig’indisining xarakteristik funksiyasi qo’shiluvchilar xarakteristik funksiyalari ko’paytmasiga teng:

Isboti: va lar bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar bo’lsinlar, u holda va tasodifiy mqdorlar ham bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar bo’ladilar. Matematik kutilmaning xossasiga asosan

Natija 1.1.1: Agar va har bir qo’shiluvchi qolganlari yig’indisiga bog’liq bo’lmasa,
(1.1.1)
4⁰ . xarakteristik funksiya da tekis uzluksiz.
5⁰ . . Bu yerda ning kompleks qo’shmasi.
Bu xossaning isboti

tenglikdan kelib chiqadi.
6⁰. Poya teoremasi, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya bo’lsin:
a) , va da .
b) funksiya uzluksiz , juft va qavariq (yuqoriga qavariq).
Bundan funksiya biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo’ladi.
Teorema 1.1.1. [17] Agar tasodifiy miqdor tartibli absolut momentga ega bo’lsa, u holda xarakteristik funksiya marta differensiallanuvchi va uchun
(1.1.2)
va
(1.1.3)
bu yerda da va barcha lar uchun
Isboti: Xarakteristik funksiyasi marta formal differensiallash quyidagiga olib keladi:
(1.1.4)

bo’lganligi uchun teorema shartidan (1.1.4) integralning mavjudligi va differensiallashning qonuniyligi kelib chiqadi.
(1.1.4) da deb olsak

kelib chiqadi.
(1.1.3) ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. Ma’lumki,

Shuning uchun bu yerda va - tasodifiy miqdorlar va , .
(1.1.3) ga ega bo’lish uchun oxirgi tenglikning ikkala tomonidan matematik kutilma olish kerak.
Endi ayrim muhim taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini qaraymiz.
Misol 1.1.1. Agar bo’lsa,
Misol 1.1.2. bitta tajribada hodisa ro’y berishlar soni, hodisaning ro’y berish ehtimoli , ro’y bermaslik ehtimoli bo’lsin.

U holda

Misol 1.1.3. ta bog’lansiz tajribalarda hodisa ro’y berishlar soni, har bir tajribada hodisa ro’y berish ehtimoli , ro’y bermaslik ehtimoli bo’lsin
bilan tajribada hodisa ro’y berish sonini belgilasak, va xarakteristik funksiyaning xossasi asosida

Misol 1.1.4. tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasini topamiz.
Bu tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va xarakteristik funksiya ta’rifiga asosan:

almashtirishdan keyin funksiya quyidagi ko’rinishni oladi.

ma’lumki, ixtiyoriy haqiqiy uchun

demak,
Agar bo’lsa, bo’ladi.