O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat pedagogika instituti matematika va uni o’qitish metodikasi kafedrasi algebra va sonlar nazariyasi fanidan mustaqil ta’lim topshiriqlari to’plami

a-bi kompleks orqali belgilaylik, ya’ni =a-vi bo‘lsin. U holda z=a+bi va =a-bi lar o‘zaro qo‘shma kompleks sonlar bo‘ladi.
O`zaro qo‘shma kompleks sonlar quyidagi xossalarga ega:
1. =z+
2. ;
3. ;
4. =z;
5. z= ;
6. z=a+bi bo‘lsa, u holda bo‘ladi;
7. z=a+bi bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Ta’rif. z=a+bi kompleks sonning moduli deb songa aytiladi va uni |z| yoki |a+bi| ko‘rinishlarda belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra |z| = bo‘ladi.Har qanday z₁,z₂ kompleks sonlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:
1. |z₁|²=z₁z₁;
2. |z₁|=0z₁=0;

1. 
   |z₁ z₂|=|z₁||z₂|;
   
2. 
   |z₁^-1|=|z₁|^-1 (z₁ 0);
   
3. 
   |z₁+z₂| |z₁|+|z₂|;
   
4. 
   |z₁|-|z₂| |z₁+z₂|;
   
5. 
   ||z₁|-|z₂|| |z₁+z₂|.
   

z

r b

О а А(а;0) Х

1-чизма.

=a+bi kompleks sonni tekislikdagi dekart koordinatalari sistemasida abssissasi a, ordinatasi b bo‘lgan M(a; b) nuqta bilan tasvirlash qabul qilingan. U holda a haqiqiy son abssissa o‘qida yotuvchi A (a; 0), vi mavhum son ordinata o‘qida yotuvchi V(0; b) nuqtalar bilan tasvirlanadi (1-chizma), 0=0+0i songa mos keluvchi nuqta koordinata boshi bo‘ladi.

Bunday tasvirlashda abssissa o‘qi- haqiqiy o‘q, ordinata o‘qi esa mavhum o‘q deb yuritiladi. z=a+bi kompleks sonni boshi koordinata boshida va uchi M(a; b) nuqtada yotuvchi vektor bilan ham tasvirlash mumkin. Kompleks sonlar to‘plami S bilan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plami orasida biektiv akslantirish mavjud.
Masalan, z=2-3i, z₂=-3, z₃=5i sonlar moc ravishda tekislikdagi M₁(2; 3), M₂(-3; 0), M₃(0; 5) nuqtalar bilan tasvirlanadi.
Ta’rif. z=a+bi kompleks sonning geometrik tasviri deb, koordinatalari a va b bo‘lgan tekislikning nuqtasiga aytiladi.
z=a+bi kompleks sonning geometrik tasvirini bildiruvchi vektorning uzunligi z kompleks sonning moduli deyiladi va u
r= = ko‘rinishda belgilanadi. r= ni Pifagor teoremasi bo‘yicha 1- chizmadagi MOA to‘g‘ri burchakli uchburchakdan topamiz. Bunda r= bo‘ladi. OX o‘qning musbat yo‘nalishi bilan OM vektor orasidagi ґtkir burchakni deb belgilaylik. U holda MOA to‘g‘ri burchakli uchburchakdan a=rcos , v=rsin larni topamiz. Bularni z = a+bi ga qo‘yib
z=r(cos +isin ) (1)
ni hosil qilamiz. (1) ga kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi (bunda g 0, lekin istalgan (manfiy, nol, musbat) haqiqiy qiymatlarni qabul qila oladi). (1) da burchak z kompleks sonning argumenti deb ataladi va u Argz= kabi yoziladi.  burchak tg= formuladan topiladi, lekin har doim ham  burchakni bu formuladan topib bo‘lavermaydi (Masalan, a=0 bo‘lganda). Bunday holda  ni topish uchun z ning geometrik tasviri ham e’tiborga olinadi.
(1) ni umumiy shaklda z=r(cos(+2k)+isin(+2k) (kZ) deb yoziladi.
Masalan, z=1+3i algebraik shakldagi kompleks sonni trigonometrik shaklga keltiraylik. Buning uchun g va  larni topib ularni (1) ga qo‘yamiz. Bunda r= =2, ya’ni r=2, tg= , ya’ni tg= dan = bo‘ladi.
Demak, z=2(cos +isin ) bo‘lar ekan.
Endi trigonometrik shakldagi kompleks sonlar ustida ko‘paytirish va bo‘lish amallarini ko‘rib o‘tamiz.
z₁z₂=r₁r₂((cos₁cos₂-sin₁sin₂)+i(sin₁cos₂+cos₁sin₂)),
z₁z₂=r₁ r₂ ((cos(₁+₂)+ sin(₁+₂)) (2)
ga ega bo‘lamiz.
Demak, trigonometrik shakldagi ikkita kompleks sonning ko‘paytmasi moduli ko‘paytuvchilar modularining ko‘paytmasiga, argumenti esa ko‘paytuvchilar argumentlarining yig‘indisiga teng bo‘lgan trigonometrik shakldagi kompleks son bo‘ladi.
Masalan, z₁=2(cos23⁰+isin23⁰),z₂=3(cos22⁰+ism22⁰) bo‘lsa, u holda z₁z₂=6(cos45⁰+isin45⁰) bo‘ladi.
Istalgan z₁=r₁(cos₁+isin₁) kompleks sonni z₂=(cos₁+isin₂)0 kompleks songa bo‘lish quyidagicha bajariladi:
(3)
Trigonometrik shakldagi ikkita konplekslarning bo‘linmasi trigonometrik shakldagi kompleks son bo‘lib, bo‘linmaning moduli bo‘linuvchi va bo‘luvchi modullarning bo‘linmasiga, argument esa bo‘linuvchi va bo‘luvchi argumentlarning ayirmasiga teng bo‘ladi.
Macalan, z₁=4(cos60⁰+ isin60⁰), z₂=2(cos15⁰+isin15⁰) bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

Yuqorida biz trigonometrik shaklda berilgan ikkita kompleks sonlarning ko‘paytmasi bilan tanishgan edik. Endi bu tushunchani umumlashtiraylik. Haqiqatan, n ta

z₁=r₁(cos₁+isin₁ ),
z₂= r₂ (cos₂ +isin₂ ),
........................................
z_n=r_n (cos_n +isin_n)
kompleks sonlar ko‘paytmasini quyidagicha hosil qilamiz:
z₁z₂...z_n=r₁r₂...r_n(cos(₁+₂+...+_n)+isin(₁+₂+...+_n)) (1)

1. 
   dagi z_i=r_i(i= ), va z₁z₂...z_n=r₁r₂...r_n tengliklardan
   

z₁z₂...z_n=z₁z₂...z_n (2)
tenglik hosil bo‘ladi. Agar (1) da r₁=r₂=...=r_n=r va ₁=₂=•••=_n= bo‘lsa, u holda z₁=z₂=...=z_n=z bo‘lib, (1) va (2) lardan
zⁿ=(r(cos+isin)ⁿ=rⁿ(cosn+isinn) (3)
formula kelib chiqadi. (3) formulani Muavr formulasi deyiladi. (3) dan ko‘rinadiki, z=r(cos+isin) ko‘rinishdagi kompleks sonni n-darajaga ko‘tarish uchun uning modulini n darajaga ko‘tarib, argumentini esa n marta orttirish lozimligi.
Misol.
Agar n=4k+r bo‘lsa, u holda iⁿ=i^r bo‘ladi.
Ta’rif. a+vi kompleks sonning p-darajasi ildizi deb, ushbu
(x+ui)ⁿ=a+vi (4)
tenglikni qanoatlantiruvchi x+yi songa aytiladi va uni
x+ui= (5)
ko‘rinishda yoziladi. Aytaylik,
a+vi=g(sos+isin), x+yi=(cos+isin) (6)
bo‘lsin. U holda (4)ni (6)ga ko‘ra
((cos+isin))ⁿ= r(cos+isin) (7)
ko‘rinishda yoza olamiz. Muavr formulasiga asosan (7) dan
ⁿ (cosn+isinn) = r(cos+isin) (8)
ni hosil qilamiz. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarning tengligidan ⁿ=g, = va n-=2k (kZ), = kelib chiqadi.  va  larning bu qiymatlarini (6)ga qo‘yib
x+yi=(cos+isin)= (9)
yoki (5) va (9) ga asosan
(10)
formulani hosil qilamiz. (10) formulada k ixtiyoriy butun son, lekin k uchun k=0,1,2,...,(n-1) qiymatlar olinadi. arifmetik ildiz.
(10) formulada g=1, =0 bo‘lsa, a+vi=1 bo‘lib, u
(11)
ko‘rinishni oladi.
n=3 uchun (11) formulani qaraylik.
.
1) k=0, _o=cos0+isin0=l+i0=l, _o=1;
2) k=l, ₁=
3) k=2, ₂=
Endi algebraik shakldagi kompleks sondan chiqarilgan kvadrat ildizni algebraik shaklda izlaymiz.
Ta’rif. a+bi kompleks sondan chiqarilgan kvadrat ildiz deb, ushbu
(x+yi)²=a+bi (13)
tenglikni qanoatlantiruvchi x+yi kompleks songa aytiladi va uni ko‘rinishda belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra.
x+yi= (14)
bo‘ldi.
(13) dan x²+2xyi+y²i²=x²-y²+2xyi=a+vi tenglikni yoza olamiz. Algebraik shakldagi kompleks sonlar tengligidan:
(15)
ni yoza olamiz, (15) dagi tengliklarning har birini kvadratga ko‘tarib, keyin qo‘shaylik va ma’lum amallarni bajaraylik:

x⁴+2x²y²+y⁴=a²+b²,
(x²+y²)²=a²+b²,
x²+y²=
x²+y² musbat son, ya’ni x²+y²>0 bo‘lgani sababli x²+y²= bo‘ladi.
Demak,
(16)
sistemani xosil qilamiz.
(16) sistemadagi tengliklarni qo‘shib 2x²=a+ , ni topamiz.
(16) sistemadagi tengliklarni ayirib va ma’lum amallarni bajarib ni topamiz.

ko‘rinishda yozamiz. (15) dan ko‘rinadiki v>0 bo‘lsa, u holda ekanligi. Demak, v>0 bo‘lganda
(17)
bo‘ladi. Agar v<0 bo‘lsa, u holda (15) dan ko‘rinadiki ekanligi. Demak, v<0 bo‘lganda
(18)
bo‘ladi.
Misol. ni hisoblang.
24 musbat son bo‘lgani uchun (17) formuladan foydalanamiz.

bo‘ladi.