Өзбекстан республикасы жоқары ҳӘм орта арнаўлы билимлендириў министрлиги

§1.3. Сызықлы емес стохастикалық еки этаплы мәселеси ушын қосарлық қатнасы ҳәм оптималлыәртлери.

Бул параграфта еки этаплы сызықлы емес стохастикалық мәселеси де қаралады.

Мейли -итималлық кеңислигиниң элементар ўақыясы болсын ҳәм . Ал Демек, этаплы сызықлы емес стохастикалық мәселе төмендегише қойылады: детерминлестирилген х-векторын ҳәм тосынанлы муғдарды табыў талап етиледи.
Яғный
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Айтайық төмендегилер орынлы болсын:

1. 
   –математикалық күтилиў бар болсын:
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   ушын
   
5. 
   кеңисликтиң точкасын СС тосынанлы шамаға сәйкес қоятуғын А-операторы кеңисликте анықланған ҳәм барлық лар ушын
   
6. 
   вектор функциясының ҳәр бир координатасы жоқары қарата ҳәр бир -ушын жоқары қарата дөңес ҳәм -лер бойынша өлшемли (измериной)
   
7. 
   Х-көплиги -де компакт.
   

Жоқарыдағы (1)-(5) мәселеси ушын лагранж функциясын дүземиз:
(6)
бунда .
Жоқарыдағы (1)-(5) мәселесине қосарлы мәселе төмендеги көринисте болады.
(7)
(8)
Енди (1)-(5) ҳәм (7)-(8) мәселелердиң шешимлериниң бар болыўын ҳәм сәйкес қосарлы қатнастың орынлы екенлигин дәлиллеймиз.
Оның ушын алдын қосарлы мәселеге қараймыз. Жоқарыдағы Лагранж функционалын төмендегише түрлендиремиз:
(9)
Бул (9)-қатнасқа (7)-(8)-ге сәйкес избе-из sup алыў операциясын, кейин inf –алыў операциясын қоллансақ, онда (7)-(8) төменги көриниске келеди.
Яғный

бул жерде
деп белгилеймиз. Қосарлы мәселениң шешимин бар болыўын дәлиллеў ушын мәселени болайынша жазамыз.
(10)
(11)
Енди (10) функционалды қараймыз
(12)
Мейли ҳәм функционаллары төмендеги қәсийетлерге ийе болсын:

8. 
   ҳәр бир
   

бунда -шекли математикалық күтилиўге ийе болсын -шы абсолют моментге ийе болсын . Онда ды баҳалаўды (12)-шиде даўам етемиз:
(13)
Бунда M ҳәм К-терис емес константалар (өзгермеслер) болып, олар сәйкес ҳәм
тең
Жоқарыдағы (13) аңлатпадан функциональдың ҳәр бир шарда шекленгенлиги келип шығады. функциональдың -да төменге қарата дңес екенлиги белгили. Соның менен бирге жоқарыдағы келтирилген уйғарыўларға байланыслы.
(14)
Бул жерде –арқалы белгиленген.
Бул жерде [Иоффе А.Д., тихфмиров В.М. теория экстремальных задач.-М.,: Наука. 1974.-480 с] деги 1-ши теореманың n.3.2.3 нен пайдалансақ, онда дың -де үзиликсиз екенлиги келип шығады.
Соның менен бирге [Экланд К., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационных проблем.-М.: Мир, 1979.-339 с] диң II-ши бап I.2 пунктинен уйғарыўынан пайдалансақ, жоқарыдағы (10)-(11) мәселесиниң шешиминиң бар болыўы келип шығады. Енди биз туўры мәселени қараймыз.

белгилеймиз, бунда жоқарыдағы (2)-(5) шәртлерин қанаатландырады ҳәм кеңислигиниң точкалар көплигинен ибарат болып радиусы -ға тең орайы (0,0) болған сфераға тийисли.
Мына шәртинен ди келип шығады. Буннан жоқардағы (5) шәртге қараң. А-операторы үзиликсиз. Ҳақыйқатында ҳәм, функциясының х-бойынша дөңеслигин есапқа алсақ, онда және [1] жумыстың 1-шы теореманың n.3.2.3 пунктине муражат қылсақ болады.
Усындай себепли (1)-функционал үзиликсиз. Буннан келип шығады (1)-(5) туўры мәселеге [3] жумыстың III-бап, лемма 1.1 ҳәм II-бап, теорема 3.3 қоллансақ, онда келип шығады.
бунда

Демек, биз төмендеги теореманың дурыс екенлигин көремиз.