Өзбекстан республикасы жоқары ҳӘм орта арнаўлы билимлендириў министрлиги

§1.1. Стохастикалық субградиент ҳәм квазиградиент тусиниги.
Стохастикалық программаластырыў мәселелери ушын мәселениң қойылыўында функциялардың градиентин ямаса субградиентин есаплаў мүмкин емес. Соның мемен бирге, бул-оптимумға ерисиўдиң бирден-бир бағдары болып қалмайды. Стохастикалық программаластырыўдың мәселелери ушын есаплаў жағынан қарағанда қолайлы болып табылатуғын айрым тосынанлы бағдарлар бар болып, олар стохастикалық субградиент ҳәм стохастикалық квазиградиентлер болып табылады.
1-Анықлама: Жоқарға қарай дөңес функцияның -ноқатындағы стохастикалық субградиентти деп-математикалық кутилиўи субградиенти менен сәйкес келетуғын
(1.1)
-тосынанлы векторына айтамыз.
Көпшилик жағдайларда стохастикалық субградиентти қаралып атырған -ноқаты тосынанлы болып табылады. Сонлықтан жоқарыдағы (1.1) формуладағы математикалық кутилиўди векторға салыстырмалы турде шәртли математикалық кутилиўге алмастырыў орынлы яғный
(1.2)
Егерде -функциясы дифференциалланыўшы болса, онда оның субградиенти градиенти менен, ал стохастикалық субградиенти стохастикалық градиенти менен сәйкес келеди. Жоқарыдағы (1.2) теңликтен субградиент стохастикалық субградиенттиң айрым өзгермеген баҳасы екенлиги келип шығады. Айрым сызықлы емес стохастикалық мәселелерди қарастырғанды субградлиент түсинигин кеңейтириў зәрүрлиги келип шығады, яғный айрым өзгертиўлерге мүмкиншилик туўылады.
Бул жағдайда стохастикалық квазиградиент, стохастикалық субградиент түсинигин жетилистиреди.
2-Анықлама: Жоқарыға қарай дөңес -функциясының стохастикалық квазиградиенти деп төмендеги формула
(1.3)
жәрдеминде анықланатуғын -тосынанлы векторына айтылады.


§1.2. Еки этаплы стохастикалық сызықлы емес мәселениң қойылыўы ҳәм оны шешиў усыллары.

Мейли бизге төмендеги көринисте -формада еки этаплы сызықлы емес стохастикалық мәселе берилген болсын:

(1.4)
(1.5)
бул жерде фиксирленген ҳәм ушын төмендеги мәселениң шешими.
(1.6)
(1.7)
Жоқарыда (1.4)-(1.5) мәселени шешиў ушын стохастикалық квазиградиентлер усылын қолланамыз оның ушын функциясының стохастикалық квазиградиенттин есаплаймыз. -арқалы (1.4)-ши функцияның интеграл асты аңлатпасын белгилеймиз.
-деп уйғарып биз төмендегини тастыйықлаймыз. Интеграл асты аңлатпасының субградиенти,

функциясының субградиентин есаплаў қағыйдасы арқалы есапланады.
Бул жерде -көплик

теңсизлиги менен кесилисетуғыны белгили. Егер -функциясы -өзгериўшилери бойынша дифференциалланыўшы болса ҳәм барлық лар ушын
(1.8)
(1.8)-мәселениң Лагранж функциясының ерлик точкасы бар болса, онда
(1.9)
бул жерде -фиксирленген та Лагранж функциясының ерлик точкасы.
(1.10)
Солай етип функциясының стохастикалық субградиенти

формула бойынша есапланады. Бул жерде -фиксирленген ҳәм теги
(1.11)
(1.12)
(1.11)-(1.12)- мәселесиниң Лагранж функциясының ерлик точкасы. ( s-ши итерациядағы тәбияттың жағдайы.)
Егер жоқарыдағы (1.5)-шеклеўлери арасында өзгериўшилердиң терис емеслиги бар болса, онда стохастикалық квазиградиентлерди проекциялаў усылына муўапық реккурент қатнаслар төмендеги түрге ийе болады.
Егер (1.5) шеклеўлери менен сүўретленген көпликке проекциялаў қыйын мәселе болып есапланса онда Штраф функциялар методынан ҳәм Эрроу-Гурвиц методының стохастикалық уқсаслығынан пайдаланыў мүмкин. Штраф функциялар методына муўапық (1.5) шеклеўлери мақсет функциясына төмендегише киритиледи:
(1.13)
Бул жерде
(1.14)
Сондай С бар екенлиги көрсетилген, (1.13)-шини максимумластырыў, (1.4)-(1.5) мәселени шешиўге эквивалант екенлиги дәлилленген. Енди -дың субградиентин есаплаймыз:
(1.15)
бул жерде
(1.16)
Солай етип, ушын стохастикалық субградиенти төмендеги формула бойынша анықланады:

Бул формулаға муўапық есаплаў процесси дүзиледи.
Эрроу-Гурвиц методының стохастикалық уқсаслығының реккурент қатнасларын (1.4)-(1.5) мәселелерине қолланыў қолайлы ҳәм төмендеги түрге ийе болады.
(1.17) (1.18)
_(1.19)