Pedagogika universiteti fizika

1 -jumla. X toʻplamning barcha qism toʻplamlar toʻplami H(X) da G- ekvivalentlik munosabati boʻladi.

Isbot. Agar ixtiyoriy Y  P( X ) ni olib g  G
^idx ^Y  ^{ Y  Y}
sifatida id_x  G
ni olsak

Endi Y₁
boʻlsin. U qolda shunday g  G
mavjudki
^g ^Y1  ^{ Y2}
boʻladi. Unda
g ^1  G

boʻlib
g^1 _g Y _  g^1 Y  . Bundan
^g1 ^Y  ^{ Y}
ya’ni Y₂
simmetrik xossa oʻrinli.

1 2

2 1
Agar Y₁
va Y₂
boʻlsa, shunday
g₁  G
va g₂  G
biektsiyalar mavjudki

bulardan
^g1 ^Y1  ^{ Y2 ,}


g_{2 }Y_{2 }  g_{2 }g_{1 }Y_{1 }  Y₃
^g2 ^Y2  <sup> Y3


ya’ni</sup>  ^g2g1 ^Y1  ^{ Y3 ,}

^{bundan va}  ^g2g1 ^Y1  ^{ Y3}
oʻrinli.
tenglikdan Y₁
g₂ g₁  G
munosabatni olamiz, tranzitivlik xossa

Demak Y₁ (G – ekvivalentlik) haqiqatan ham ekvialentlik munosabat ekan.

Shunday qilib P(X) toʻplam oʻzaro G ekvialent boʻlgan qism toʻplamlarning

sinflariga ajraladi. Shu bilan birga G guruh qancha katta boʻlsa G – ekvivalent sinf hm shuncha katta, oʻzaro “oʻxshash” figuralar shuncha koʻp boʻladi. Geometriyada har xil almashtirishlar guruhi koʻriladi. Maktabda oʻrganiladigan Evklid geoemtriyasi fguralarning shunday xossalarini tekshiradiki ular harakatlarda (izometriyalarda) oʻzgarmaydi. Figuralarning birini ikkinchisiga harakat almashtirish bilan oʻtkazish mumkin boʻlsa teng figuralar deb ataladi.
Analitik geometriyada izometrik almashtirishlar bilan bir qatorda shuningdek affin va proektiv almashtirishlar koʻriladi.

.

2 -ta’rif. Agar shunday ikkita
Ox₁...x_n
va O^x₁^...x_n^ affin koordinatalar

sistemasi mavjud boʻlsaki
M  Eⁿ
ixtiyoriy M nuqtaning birinchi sistemasidagi

koordinatalari uning f(M) aksining ikkinchi sistemasidagi kordinatalari bilan ustma-

ust tushsa
f : Eⁿ  Eⁿ
, n=1,2,3 toʻgʻri chiziqning, tekislikning yoki fazoning

almashtirishni affin almashtirish deb ataladi ( 1 -rasmga qaralsin). Bu holda f affin

almashtirish ikkita
Ox₁...x_n
va O^x₁^...x_n^ affin koordinatalar sistemasi bilan yoki ikkita

Oe₁...e_n va O^e₁^...e_n^ affin reper bilan assotsirlangan deb ataymiz. Biz
  E²
tekislikning

affin almashtirishlarini toʻla tekshiramiz. Shu bilan birga ba’zan yassi va fazoviy hollardagi farqlarni muhokama qilib toʻgʻri chiziq, tekislik va fazo uchun umumiy boʻlgan affin almashtirishlarining xossalariga toʻxtalamiz.

1 ^-rasm

Affin almashtirish bilan yuzaga kelgan vektorlarni almashtirish.

f ikkita
Ox₁...x_n
(eski) va
O^x₁^...x_n^ (yangi) koordinatalar sistemasi bilan

assotsirlangan tekislikning (fazoning) affin almashtirishlari boʻlsin. MN vektorni qaraylik. Vektorning koordinatalari uning oxirining koordinatalaridan uning

boshining koordinatalarini ayirishdan hosil qilingani tufayli
f (M ) f (N )
vektorning

yangi reperga nisbatan koordinatalari MN vektorning eski reperdagi koordinatalari bilan bir xil boʻladi.
Shunday qilib

tenglik bilan aniqlanuvchi
f _MN _  f (M ) f (N )
f :Vect(n) Vect(n)
(1)


akslantirishni hosil qildik. f

akslantirish shuningdek ^a vektor koordinatalari va uning
^f ^a  ^{aksi koordinatalari}

tengligidan ham aniqlanadi (har xil reperlarda) shuning uchun 1-ta’rif a  MN
vktorning qoʻyilish nuqtasiga bogʻliq emas. f akslantirish vektorlar koordinatalari va

akslari koordinatalari tengliklaridan aniqlanganligi sababli u ustiga izomorfizm boʻladi.
Aniqrogʻi f akslantirish ikkita
Vect(n)
fazoni oʻzining

g :Vect(n)  Rⁿ va h : Rⁿ Vect(n)

izomorfizmlarning kompozitsiyasi boʻladi. Birinchi g izomorfizm
a Vect(n)
vektorga

uning koordinatalar nisbatini mos qilib qoʻyadi, eski reperda, ikkinchi h izomorfizm

^{esa yangi reperda}  ^{x ,..., x} ^{ Rn sonlar naborini x ,..., x koordinatali vektorga}
1 n 1 n


oʻtkazadi. f izomorfizmni f affin akslantirish bilan yuzaga kelgan chiziqli akslantirish deb ataladi.

2 -jumla.

f : Eⁿ  Eⁿ
affin almashtirish va
Oe ...e - Eⁿ dagi ixtiyoriy reper

1 n

boʻlsin. Unda
^{f (0) f} ^e1 ^{... f} ^en 

• 
  bu shunday yagona reperni bunda f almashtirish
  

Oe₁...e_n va
^{f (0) f} ^e1 ^{... f} ^en  ^{reperlar bilan assotsirlanadi.}

Isbot. f chiziqli akslantirish izomorfizm boʻlgani sababli chiziqli bogʻlanmagan ketorlar sistemasini chiziqli bogʻlanmagan vektorlar sistemasiga

oʻtkazadi,
^{f (0) f} ^e1 ^{... f} ^en 
reperdir. M -
Oe₁...e_n
reperda ( x₁,..., x_n ) koordinatali

ixtiyoriy nuqta boʻlsin. Bu esa
boʻlishini anglatadi.


OM  x₁e₁  ...  x_ne_n

f akslantirishning chiziqliligi tufayli ushbuga ega boʻlamiz
^f ⁰ ^f ^M  ^{ f} _^OM _ ^{ x1 f} ^e1  ^{...  xn f} ^en 

Ammo bu tenglik f(M) nuqta boʻlishiga ekvivalentdir.
^{f (0) f} ^e1 ^{... f} ^en 
reperda ( x₁,..., x_n ) koordinatalarga ega

f almashtirish
Oe₁...e_n
va O^e₁^...e_n^ reper bilan assotsirlanadigan shunday
O^e₁^...e_n^

reperning yagonaligini tekshirish qoldi.
Oe₁...e_n
reperdagi ( x₁,..., x_n ) koordinatani M

nuqta uchun
O^e₁^...e_n^ reperda shunday koordinatali yagona nuqta f(M) nuqta boʻladi.

Shuning uchun f(0) nuqta nol koordinatalarga ega boʻlganidan ^O nuqta bilan ustma-

ust tushadi. Soʻngra
e_i  OM_i
boʻlsin. Unda
^f ^ei  ^{ f} _^OMi _ ^{ f} ⁰ ^f ^Mi  ^{ Of} ^Mi  ^.

Ammo
^f ^Mi 
- yangi reperda i-chi koordinatasi birga teng, qolgan hamma

koordinatalari nolga teng boʻlgan yagona nuqtadir. Demak
^f ^Mi 

• 
  ^O nuqtadan
  

qoʻyilgan
e_i^ vektorning oxiri, ya’ni
^f ^ei  ^{ ei , jumla isbotlandi.}

4. 
   -jumla. Barcha
   

f : Eⁿ  Eⁿ
affin almashtirishlar toʻplami T_r(Eⁿ) guruhning

Eⁿ toʻplam almashtirishlar guruhi deb ataluvchi qism guruh hosil qiladi.
Isbot. Ayniy akslantirish ixtiyoriy ustma-ust tushuvchi reperlar juftligi bilan

assotsirlanadi. Agar f almashtirish
Oe₁...e_n
va O^e₁^...e_n^ reperlar bilan assotsirlangan

boʻlsa, u holda f ^-1 teskari almashtirish
Oe₁...e_n
va O^e₁^...e_n^ reperlar bilan assotsirlanadi.

Agar f va g – affin almashtirishlari boʻlib, ulardan birinchisi
Oe₁...e_n
va O^e₁^...e_n^

reperlar bilan assotsirlangan boʻlsa, u holda 45.3-jumlaga muvofiq ikkinchisi
O^e₁^...e_n^

^{va g(0)g} ^e1 ^...g ^en 
reperlar juftligi bilan assotsirlanadi. Jumla isbotlandi.

4. 
   -jumla. Affin almashtirishda
   

1. 
   tekislik tekislikka oʻtadi;
   
2. 
   tekisliklarning parallelligi saqlanadi;
   

v) toʻgʻri chiziq toʻgʻri chiziqga oʻtadi;
g) toʻgʻri chiziqlarning parallelligi saqlanadi;
d) kesmani berilgan nisbatda boʻlish saqlanadi.
Isbot. a) ^ - tekislik birorta affin koordinatalar sistemasi Oxyz da Ax+By+Cz+D=0 (2) tenglama bilan berilgan fazoning barcha nuqtalar toʻplamidan iboratdir. f affin almashtirishi Oxyz va O^x^y^z^ affin koordinatalar sistemasi juftligi bilan assotsirlangan boʻlsin. Unda tekislikning aksi f(π) ham O^x^y^z^ koordinatalar sistemasida xuddi Ax+By+Cz+D=0 (2) tenglama bilan tavsiflanadi ya’ni tekislik boʻladi.
b) ^ va ^{ } tekisliklarning parallelligi ularning kesishmasligiga teng kuchli. f

almashtirishning biektivligidan
kesishmaslgi kelib chiqadi.
^f ^  ^va
f ^{ }
tekisliklar ham shuningdek

v) l toʻgʻri chiziq birorta affin koordinatalar sistemasi Oxyz da
x  x_{0 } y  y_{0 } z  z₀
  
tenglama bilan berilgan fazoning barcha nuqtalar toʻplamidan iboratdir. f almashtirish Oxyz va O^x^y^z^ affin koordinatalar sistemasi juftligi bilan assotsirlangan boʻlsin. Unda toʻgʻri chiziqning aksi f(l) ham O^x^y^z^ koordinatalar sistemasida xuddi

shu
x  x_{0 } y  y_{0 } z  z₀
  
tenglama bilan tavsiflanadi, ya’ni toʻgʻri chiziq boʻladi.

Fazoda l toʻgʻri chiziq har xil π₁ va π₂ tekisliklarning kesishish chizigʻi boʻladi

l  ₁   ₂
^f ^l  ^{ f} ^{1 2}  ^{ f} ^1  ^{ f} ^2 

1. 
   bandni e’tiborga olib teskari almashtirish f ^-1ga oʻtish
   

1 2 1 2 1 2
f ^1 _ f _ _  f _ _  f ^1 _ f _ _ f ^1 _ f _ _     l

1 2
f ^1 _ f _ _  f _ _  l ^f ^1  ^{ f} ^2  ^{ f} ^l 

ekanligini koʻrsatadi. Demak,


^f ^l  ^{ f} ^1  ^{ f} ^2  ^.

Demak f – almashtirishda toʻgʻri chiziiq toʻgʻri chiziqga oʻtishining ikkinchi isboti boʻladi.
g) Tekislikdagi l₁ va l₂ toʻgʻri chiziqlarning parallelligiga ularning kesishmasligiga teng kuchli. f almashtirishning biektivligidan f(l₁) va f(l₂) toʻgʻri chiziqlarning kesishmasligi kelib chiqadi. Ya’ni f(l₁) va f(l₂) toʻgʻri chiziqlar paralleldir.
Agar fazodagi l₁ va l₂ toʻgʻri chiziqlar bir tekislikda yotib kesishmasa, u holda

ular paralleldir. Bu holda
l₁  
, l₂  
va l₁  l₂   . Unda
^f ^l1  ^{ f} ^  ^,

^f ^l2  ^{ f} ^ 
l₁  l₂   f – biektivligidan
^f ^l1  ^{ f} ^l2  ^{  . Demak
f} ^l1 
^f ^l2  ^boʻladi.

D) Agar MP  PN vektor tenglik bajarilsa, u holda P nuqta MN kesmani λ

nisbatda boʻladi. f akslantirishning chiziqliligiga koʻra ushbuga ega boʻlamiz

f _MP_  f _PM _   f _PM _

bu esa
f _MN _  f (M ) f (N )
tenglikga asosan
f (M ) f (P)   f (P) f (M)
tenglikga

ekvivalentdir, ya’ni f almashtirishda kesmani berilgan nisbatdan boʻlish saqlanadi. Jumla isbotlandi.

d) shart affin almashtirishlari uchun oʻziga xos xususiyat boʻlib ushbu jumla oʻrinlidir.

4. 
   -jumla. f almashtirish affin almashtirish boʻladi, shunda va faqat shunda, qachonki u kesmani berilgan nisbatda boʻlishni saqlasa.
   

Yyyetarliligining isboti trivial boʻlmaganligi sababli isbotsiz keltiramiz.