Pedagogika universiteti fizika

3 -teorema. Ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziq affin almashtirish vositasida, birorta toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida quyidagi tenglamalar bilan berilgan chiziqlardan biriga oʻtkaziladi

1) x²  y²  1;
2) x²  y²  1;
3) x²  y²  0 ;
4) x²  y²  1;
5) x²  y²  0 ;
6) y²  x ;
7) y²  1 ;
8) y²  1;
9) y²  0 .


Isbot. Bu yerda yozilgan tenglamalar 33.1-teoremadan olingan kanonik tenglamalari bilan berilgan

1. 
   ^x2  ^y2  1, ellips;
   

_a2 _b2

2. 
   ^x2 ^{ y}2 ^{ 1}, mavhum ellips;
   

_a2 _b2

3. 
   ^x2 ^{ y}2 ^{ 0} , mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi;
   

_a2 _b2

4. 
   ^x2 ^{ y}2 ^{ 1} , giperbola;
   

_a2 _b2

5. 
   ^x2 ^{ y}2 ^{ 0} , kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi;
   

_a2 _b2

6. 
   y²  2 px , parabola;
   
7. 
   y²  a²  0 , parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi;
   
8. 
   y²  a²  0 , mavhum parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi;
   
9. 
   y²  0 , ustma-ust tushuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi,
   

chiziqlarning sodda koʻrinishdagi tenglamalardan iborat. 33.1-teoremadag olingan 1)-9) chiziqlarning har qaysisini 46.3-teoremadan olingan shu nomerli chiziqga oʻtkazuvchi affin almashtirishini koʻrsatish kerak. Isbotni ( 1) tenglama) ellips uchun olib boramiz. Demak G ellips birorta O^x^y^ toʻgʻri burchaklik koordinatalar sistemasida

x^2 _ y^2 <sub>


a</sub>2 _b2 ¹
tenglama bilan berilgan. Biz uchun boshqa Oxy toʻgʻri burchakli koordinatalar

sistemasida rasm)
x²  y²  1 tenglama bilan berilgan ^{ } aylanaga oʻtkazishimiz kerak (58-

2 -rasm
Biz izlayotgan f affin almashtirishni f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O ^x ^y ^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega
x ^  ^x  ¹ x^ 0y^ 0

1. 
   a
   

y ^  ^y  0x^ ¹ y^ 0

2. 
   b
   

1 ₀
^a  ¹  0
₀ 1 ab
b

Bunda G ellips O^x^y^ koordinatalar sistemasida
x ^2  y ^2  1
tenglama bilan berilgan

^{0  f1}  ^Г 
aylanaga oʻtdi. Ikkinchi f₂ affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar

sistemasi juftligi bilan assotsirlangan
₀^ va ^{ } aylanalar bu koordinatalar sistemasida

bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Demak O^x^y^

toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
x^2 _ y^2 <sub>


a</sub>2 _b2 ¹
tenglama bilan berilgan ellips f=f₁f₂ affin almashtirish yordamida Oxy koordinatalar

sistemasida
x²  y²  1
tenglama bilan berilgan aylanaga oʻtadi. (59-rasm). Bu holda

teorema isbotlandi.

3 -rasm.

Endi isbotni ( 2) tenglama) mavhum ellips uchun olib boramiz. Demak G mavhum ellips birorta O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
x^2 _ y^2 <sub> 


a</sub>2 _b2 ¹
tenglama bilan berilgan. Biz uni boshqa Oxy toʻgʻri burchakli koordinatalar

sistemasida
x²  y²  1
tenglama bilan berilgan mavhum aylanaga oʻtkazishimiz

kerak. Izlanayotgan f affin almashtirishini f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O^x^y^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega
x ^  ^x  ¹ x^ 0y^ 0

1. 
   a
   

y ^  ^y  0x^ ¹ y^ 0

2. 
   b
   

1 ₀
^a  ¹  0
₀ 1 ab
b

Bunda G mavhum ellips O^x^y^ koordinatalar sistemasida
x ^2  y ^2  1
tenglama bilan

berilgan mavhum aylanaga oʻtdi. Ikkinchi f₂ affin almashtirish O^x^y^ va Oxy

koordinatalar sistemasi juftligi bilan assotsirlangan
₀^ va ^{ } aylanalar bu

koordinatalar sistemasida bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Demak O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida

x^2 _ y^2 _{ }


tenglama bilan berilgan ellips f=f f

affin almashtirish yordamida Oxy

1
_a2 _b2 ^{1 2}

koordinatalar sistemasida
x²  y²  1
tenglama bilan berilgan mavhum aylanaga

oʻtadi. Teorema bu holda isbotlandi.

Isbotni ( 3) tenglama mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi uchun olib boramiz. Demak G mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi birorta O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
x^2 _ y^2 <sub>


a</sub>2 _b2 ⁰
tenglama bilan berilgan. Biz uni boshqa Oxy toʻgʻri burchakli koordinatalar

sistemasida
x²  y²  0
mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligiga oʻtkazishimiz

kerak. Izlanayotgan f affin almashtirishini f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O^x^y^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega

x ^  ^x  ¹ x^ 0y^ 0

1. 
   a
   

y ^  ^y  0x^ ¹ y^ 0

2. 
   b
   

1 ₀
^a  ¹  0
₀ 1 ab
b
Bunda G mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi O^x^y^ koordinatalar

sistemasida
x ^2  y ^2  0
tenglama bilan berilgan mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar

0
juftligiga oʻtdi. Ikkinchi f₂ affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar sistemasi juftligi bilan assotsirlangan, bunda hosil boʻlgan mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi bu koordinatalar sistemasida bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Demak O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar

sistemasida
x^2 _ y^2 _
tenglama bilan berilgan mavhum kesishuvchi toʻgʻri

_a2 _b2
chiziqlar juftligi f=f₁f₂ affin almashtirish yordamida Oxy koordinatalar sistemasida
x²  y²  0 tenglama bilan berilgan mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligiga

oʻtadi. Teorema bu holda isbotlandi.

Endi isbotni ( 4) tenglama) giperbola uchun olib boramiz. Demak G giperbola

birorta

^{  } toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
x^2 _ y^2 _



tenglama bilan

O x y
_a2 _b2

1
berilgan. Biz uni boshqa Oxy toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida x²  y²  0

bilan berilgan teng tomonli giperbolaga oʻtkazishimiz kerak. Izlanayotgan f affin almashtirishini f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O^x^y^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega

x ^  ^x  ¹ x^ 0y^ 0
a a
y ^   ^y  0x^ ¹ y^ 0
b b
1 ₀

a
0  ¹
b
  ¹  0
ab

Bunda G mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi O^x^y^ koordinatalar

sistemasida
x ^2  y ^2  1
tenglama bilan berilgan teng tomonli giperbolaga oʻtadi.

Ikkinchi f₂ affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar sistemalari bilan assotsirlanadi, teng tomonli giperbolalar bu koordinatalar sistemalarida bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Demak O^x^y^ toʻgʻri

burchakli koordinatalar sistemasida
x^2 _ y^2 _
tenglama bilan berilgan giperbola

1
_a2 _b2
f=f₁f₂ affin almashtirish yordamida Oxy koordinatalar sistemasida x²  y²  1 tenglama

bilan berilgan teng tomonli giperbolaga oʻtadi. Teorema bu holda isbotlandi.

Isbotni ( 5) tenglama) kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi uchun olib boramiz. Demak G kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi birorta O^x^y^ toʻgʻri burchakli

0
koordinatalar sistemasida
x^2 _ y^2 _
tenglama bilan berilgan. Biz uni boshqa Oxy

_a2 _b2

toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
x²  y²  0
tenglama bilan berilgan

kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligiga oʻtkazishimiz kerak. Izlanayotgan f affin almashtirishini f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O^x^y^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega

x ^  ^x  ¹ x^ 0y^ 0

1. 
   a
   

y ^  ^y  0x^ ¹ y^ 0

2. 
   b
   

1 ₀
^a  ¹  0
₀ 1 ab
b
Bunda G mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi O^x^y^ koordinatalar

sistemasida
x ^2  y ^2  0
tenglama bilan berilgan kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar

0
juftligiga oʻtdi. Ikkinchi f₂ affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar sistemalari bilan assotsirlangan. Kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftlilari bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Demak O^x^y^ toʻgʻri burchakli

koordinatalar sistemasida
x^2 _ y^2 _
tenglama bilan berilgan kesishuvchi toʻgʻri

_a2 _b2
chiziqlar juftligi f=f₁f₂ affin almashtirish yordamida Oxy koordinatalar sistemasida
x²  y²  0 tenglama bilan berilgan kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligiga oʻtadi. Bu

holda ham teorema isbotlandi.

Isbotni ( 6) tenglama) parabola uchun olib boramiz. Demak G parabola birorta

O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
y^2  2 px^
tenglama bilan berilgan.

Biz uni boshqa Oxy toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
y²  x
tenglama bilan

parabolaga oʻtkazishimiz kerak. Izlanayotgan f affin almashtirishini f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O^x^y^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega

x ^  2 px^  2 px^  0 y^  0
y ^  1y^  0x^ 1y^  0


^{2 p 0}  2 p  0

Bunda G mavhum kesishuvchi

0 1
toʻgʻri chiziqlar juftligi O^x^y^ koordinatalar

sistemasida
y ^2  2 p ¹

2. 
   p
   

x ^  x ^
tenglama bilan berilgan parabolaga oʻtadi. Ikkinchi f₂

affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar sistemalari bilan assotsirlangan.

Parabolalar bu koordinatalar sistemasida bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Demak O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar

sistemasida
y^2  2 px^
tenglama bilan berilgan parabola f=f₁f₂ affin almashtirish

yordamida Oxy koordinatalar sistemasida oʻtadi. Bu holda ham teorema isbotlandi.
y²  x
tenglama bilan berilgan parabolaga

Endi isbotni ( 7) tenglama) parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi uchun olib boramiz.
Demak G parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi birorta O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar

sistemasida
y^2  a²  0
tenglama bilan berilgan. Biz uni boshqa Oxy toʻgʻri burchakli

koordinatalar sistemasida
y²  1
bilan berilgan parallel toʻgʻri chiziqlar juftligiga

oʻtkazishimiz kerak. Izlanayotgan f affin almashtirishini f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O^x^y^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega

x ^  x^  1x^  0 y^  0
y ^  ^y  0x^  ¹ y^  0
a a
1 0 _1
1   0
0 a
a

y^2 
²   ^2 
²  ^y2   ^2 

a 0 y a
1 y 1
_a2

Bunda G parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi O^x^y^ koordinatalar sistemasida y^2  1

tenglama bilan berilgan parallel toʻgʻri chiziqlar juftligiga oʻtadi. Ikkinchi f₂ affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar sistemalari bilan assotsirlanadi, parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi bu koordinatalar sistemalarida bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Demak O^x^y^ toʻgʻri burchakli

koordinatalar sistemasida
y^2  a²  0
tenglama bilan berilgan parallel toʻgʻri chiziqlar

juftligi f=f₁f₂ affin almashtirish yordamida Oxy koordinatalar sistemasida y²  1

tenglama bilan berilgan parallel toʻgʻri chiziqlar juftligiga oʻtadi. Bu holda ham teorema isbotlandi.

Isbotni (8) tenglama mavhum parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi uchun olib boramiz. Demak G mavhum parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi birorta O^x^y^ toʻgʻri

burchakli koordinatalar sistemasida
y^2  a²  0
tenglama bilan berilgan. Biz uni

boshqa Oxy toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
y²  1
bilan berilgan

mavhum parallel toʻgʻri chiziqlar juftligiga oʻtkazishimiz kerak. Izlanayotgan f affin almashtirishini f₁ va f₂ affin almashtirishlarning kompozitsiyasi kabi quramiz. Ulardan birinchisi O^x^y^ koordinatalar sistemasida quyidagi analitik yozuviga ega

x ^  x^  1x^  0 y^  0
y ^  ^y  0x^  ¹ y^  0
a a
1 0 _1
1   0
0 a
a

y^2 
²   ^2   ²  ^y2    ^2  

a 0 y a 1 y 1
_a2
Ikkinchi f₂ affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar sistemalari bilan assotsirlanadi, bu mavhum parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi mos koordinatalar sistemalarida bir xil tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi.

Demak O^x^y^ toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida
y^2  a²  0
tenglama bilan

berilgan mavhum parallel toʻgʻri chiziqlar juftligi f=f₁f₂ affin almashtirish yordamida

Oxy koordinatalar sistemasida
y²  1
tenglama bilan berilgan mavhum parallel

toʻgʻri chiziqlar juftligiga oʻtadi. Bu holda ham teorema isbotlandi. Isbotni (9) tenglama ustma-ust tushuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi uchun olib boramiz. Demak G ustma-ust tushuvchi toʻgʻri chiziqlar juftligi birorta O^x^y^ toʻgʻri burchakli

koordinatalar sistemasida
y^2  0
tenglama bilan berilgan. Biz uni boshqa Oxy toʻgʻri

burchakli koordinatalar sistemasida
y²  0
bilan berilgan ustma-ust tushuvchi toʻgʻri

chiziqlar juftligiga oʻtkazishimiz kerak. Biz izlayotgan f affin almashtirish O^x^y^ va Oxy koordinatalar sistemasi juftligi bilan assotsirlangan boʻlsin. Unda ustma-ust tushuvchi toʻgʻri chiziqlar juftliklari bu koordinatalar sistemalarida bir xil

tenglamalarga ega boʻlganidan ulardan biri ikkinchisiga oʻtadi. Teorema bu holda ham isbotlandi.