Pedagogika universiteti fizika

1 -teorema. Tekislikning bir toʻgʻri chiziqda yotmagan berilgan O, M, N
nuqtalar uchligini shu tekislikning bir toʻgʻri chiziqda yotmagan boshqa O^, M ^, N ^


nuqtalar uchligiga oʻtkzuvchi tekislikning yagona affin almashtirishi mavjud.

Isbot. Mavjudligini tekshirish uchun va
Oe₁e₂
O^e₁^e₂^ reperlar bilan

assotsirlangan f affin almashtirishini olish yetarli, bu yerda

e₁  OM ,
e₂  ON ,
e₁^  O^M ^ ,
e₂^  O^N ^ ,
f (O)  O^,

^f ^e1  ^{ f} _^OM _ ^{ f} ^O ^f ^M  ^{ OM   e1 ,
f} ^e2  ^{ f} _^ON _ ^{ f} ^O ^f  ^N  ^{ ON  e2}

211

^{Demak f affin almashtirish va f (0) f} ^e1  ^f ^e2  ^{reperlar bilan assotsirlanganligi}
Oe₁e₂
sababli 45.3-jumlaga muvofiq, u yagonadir. Xuddi shunday fazoning bir tekislikda yotmagan berilgan O, M, N, P nuqtalar toʻrtligini fazoning bir tekislikda yotmagan

boshqa affin
O , M , N , P
nuqtalar toʻrtligiga oʻtkazuvchi fazoning yagona

almashtirish mavjud degan tasdiq oʻrinlidir.

Affin almashtirishning analitik yozuvi.

f tekislikning affin almashtirishi
Oe₁e₂
va O e ₁e ₂
reperlar bilan

1 2 1 2
boʻlsin^asse^oe^yirlb^aaⁿz^gis^adⁿan e^e^ bazisga oʻtish matritssi
_{C } ^{ c}11 ^c12 ^

 
c c
boʻlsin. Bundan

 21 22 
tashqari dastlabki Oxy koordinatalar sistemasida yangi ^O koordinatalar boshni a₁ va
a₂ koordinatalari ma’lum boʻlsin. Unda dastlabki reperdagi ixtiyoriy M nuqtaning

(x,y) koordinatalari va uning aksi
^{M   f} ^M 
^ning  ^{x, y}
koordinatalari

^{x  c11x  c12 y  a1} 

(3)

y^  c x  c y  a ^

21 22 2 
munosabat bilan bogʻlangan. Haqiqatan ham, ushbuga ega boʻlamiz

   

shuning uchun

(4)

 2   
Demak

^{e , e} ^{ x  OM  } ^{e , e
}  ^x   ^a₁ ^

 ^
C

1 2  _y
1 2 ^  _y   _a ^

 
Oxirgi yozuv (tenglik)
 ^{   2 }

^{x  c11x  c12 y  a1} 
y^  c x  c y  a ^

21 22 2 
yozuvning vektor shakldagi yozuvdan iborat ekan. Xuddi shunday f fazoning affin almashtirishi


Oe₁e₂e₃
va O^e₁^e₂^e₃^ reperlari bilan

assotsirlangan boʻlsin.
e₁e₂e₃ bazisdan
e₁^e₂^e₃^ bazisga oʻtish matritsasi

^{ c}11 ^c12 ^c13 ^
C  ^ c c c ^
_ 21 22 23 _
^ c c c ^
 31 32 33 
boʻlsin. Bundan tashqari dastlabki Oxyz koorddintalar sistemasida yangi ^O
koordinatalar boshining a₁ , a₂ va a₃ koordinatalari ma’lum boʻlsin. Dastlabki

reperdagi M nuqtaning koordinatalari (x,y,z) uning aksi ^{koordinatalari}  ^{x, y, z} ^{orasidagi bogʻlanishni topaylik
M   f} ^M 
ning

shuning uchun
   

z z
   


^4

 _a   _z 
 3   
Demak
 ^x ^  ^x   ^a1 ^
^{e , e , e} ^{ y  OM  } ^{e , e , e}  ^{C  y    a }

1 2 3 _{ }
1 2 3 _
  
² ^

 _z  _  _z   _a _

 
Oxirgi yozuv (tenglik)
 ^{  
3 }

^{x  c11x  c12 y  c13z  a1} 

y^  c x  c y  c z  a ^
(5)

21 22 23 2 ^
z^  c x  c y  c z  a ^
31 32 33 3 
fazoning affin almashtirishi uchun toʻgʻri ekn.

Aksincha
Oe₁e₂
reper bilan yuzaga kelgan tekislikda Oxy koordinatalar sistemasi

tayinlangan boʻlsin. f akslantirish M(x,y) nuqtani
^f ^M  ^{ M } ^{x, y}
nuqtaga oʻtkazadi

bu yerda
x^, y<sup>


x  c11x  c12 y  a1</sup> 
(3)

y^  c x  c y  a ^
21 22 2 
tenglik bilan beriladi

^c11 ^c21
^c12 ^c22

Unda f akslantirish
Oe₁e₂
va O^e₁^e₂^ reperlar bilan assotsirlangan affin almashtirish

buladi, bu yerda ^O nuqta (a₁,a₂) koordinatalarga ega
^{e1, e2}  ^ ^{e1, e2} ^C
Haqiqatan ham tekislikning ixtiyoriy N nuqtasi


Oe₁e₂


va O^e₁^e₂^ reperlarda mos

^ravishda ^{ ,} 
^va ^{ ,}
koordinatalarga ega boʻlsin. Bu holda bunda biz bilamizki

(23§ ga qaralsin)


^{  c11   c12  a1} 
(6)

  c  ^  c ^  a ^

N nuqta sifatida

Oe₁e₂
21 22 2 
^{reperda (3) munosabat bilan aniqlanuvchi}  ^{x, y}

koordinatalarga ega boʻlgan f(M) nuqtani olamiz. koordinatalari (6) munosabatni qanoatlantiradi
^{x  c11   c12  a1} 
^Oe₁^e₂^{ reperda uning} ^{ ,}

y^  c  ^  c ^  a ^
21 22 2 

Bu tengliklarni (3) tengliklar bilan taqqoslab ham
 ^  x ,
^  y
hosil qilamiz. Haqiqatan

c₁₁x  c₁₂ y  a₁  c₁₁ ^  c₁₂^  a₁
c₂₁x  c₂₂ y  a₂  c₂₁ ^  c₂₂^  a₂ ^c11  ^{x  } ^{ c12}  ^{y } ^{ 0 c21}  ^{x  } ^{ c22}  ^{y } ^{ 0}

^c11 ^c21
^c12 _{ 0}
^c22

boʻlganidan bir jinsli tenglamalar sistemasi faqat
x   ^  0 va
y ^  0
yechimlarga

ega, ya’ni x   ^
va y ^ . Demak
O^e₁^e₂^ reperda (x,y) koordinatalarga ega boʻlgan M

nuqta
O^e₁^e₂^ reperda (x,y) koordinatalarga ega boʻlgan f(M) nuqtaga f akslantirish

bilan oʻtkaziladi, mana shuni isbotlash talab etilgan edi.

Aksincha
O^e₁^e₂^e₃^ reper bilan yuzaga kelgan fazoda Oxyz koordinatalar

sistemasi tayinlangan boʻlsin. f akslantirish M(x,y,z) nuqtani
^f ^M  ^{ M } ^{x, y, z}

nuqtaga oʻtkazadi bu yerda x^, y^, z^

^{x  c11x  c12 y  c13z  a1} 

y^  c x  c y  c z  a ^
(5)

21 22 23 2 ^
z^  c x  c y  c z  a ^

tenglik bilan beriladi
	^c11 ^c21 ^c31	^c12 ^c22 ^c32	^c13 ^c23 ^c33

31 32 33 3 

 0

Unda f akslantirish
Oe₁e₂e₃^ va
O^e₁^e₂^e₃^ reperlar bilan assotsirlangan affin almashtirish

^{buladi, bu yerda O}^{a1, a2, a3}  ^{koordinatalarga ega}
^{e1, e2 , e3}  ^ ^{e1, e2, e3} ^C

Haqiqatan ham tekislikning ixtiyoriy N nuqtasi
Oe₁e₂e₃
va O^e₁^e₂^e₃^ reperlarda mos

^ravishda ^{ ,, } 
^va ^{ ,, }
koordinatalarga ega boʻlsin. Bu holda bunda biz

bilamizki (23§ ga qaralsin)

^{  c11   c12  c13  a1} 

  c  ^  c ^  c ^  a ^
( ^6 )

21 22 23 2 ^
  c  ^  c ^  c ^  a ^

N nuqta sifatida

21 22 33 3 
Oe₁e₂e₃ reperda (5) munosabat bilan aniqlanuvchi ( x^, y^, z^ )

koordinatalarga ega boʻlgan f(M) nuqtani olamiz. koordinatalari ( ^6 ) munosabatni qanoatlantiradi
^Oe₁^e₂^e₃^{ reperda uning} ^{ ,, }

^{x  c11   c12  c13  a1} 
y^  c  ^  c ^  c ^  a ^
21 22 23 2 ^
z^  c  ^  c ^  c ^  a ^
21 22 33 3 
Bu tengliklarni (5) tengliklar bilan taqqoslab topamiz
c₁₁ x  c₁₂ y  c₁₃ z  a₁  c₁₁ ^  c₁₂^  c₁₃ ^  a₁ c₂₁ x  c₂₂ y  c₂₃ z  a₂  c₂₁ ^  c₂₂^  c₂₃ ^  a₂ c₃₁ x  c₃₂ y  c₃₃ z  a₃  c₂₁ ^  c₂₂^  c₃₃ ^  a₃
^c11  ^{x   } ^{ c12}  ^{y } ^{ c13}  ^{z  } ^{ 0 c21}  ^{x   } ^{ c22}  ^{y } ^{ c23}  ^{z  } ^{ 0 c31}  ^{x   } ^{ c32}  ^{y } ^{ c33}  ^{z  } ^{ 0}
bir jinsli tenglamalar sistemasida

215

^c11 ^c21 ^c31
^c12 ^c22 ^c32
^c13
c₂₃  0
^c33

boʻlgani uchun yagona nol yechimga ega, ya’ni
x   ^  0 ,
y ^  0 ,
y  ^  0 , ya’ni

x   ^ , y ^ , y  ^ . Demak
Oe₁e₂e₃
reperda (x,y,z) koordinatalarga ega boʻlgan M

nuqta
O^e₁^e₂^e₃^ reperda (x,y,z) koordinatalarga ega boʻlgan f(M) nuqtaga f akslantirish

bilan oʻtkaziladi, mana shuni isbotlash talab etilgan edi.

^{Eslatma. Agar} ^{e1, e2} 
bazisda
^{x  c11x  c12 y  a1} 
(3)

y^  c x  c y  a ^

21 22 2 
munosabat f almashtirishning analitik yozuvini bersa, u holda
^{x  c11x  c12 y} 
y^  c x  c y^

(7)

21 22 


Formulalar bu almashtirish bilan yuzaga kelgan f chiziqli akslantirishning analitik

yozuvidan iborat boʻladi, ya’ni
a  xe₁  ye₂
vektor
^f ^a  ^{ xe1  ye2}
vektorga oʻtadi.

Haqqatan ham a  OM
deb
^f ^a ^{ f} _^OM _ ^{ f} ^O ^f ^M  ^{ OM }
keyin esa (4)

tenglikdan foydalanish kerak

^f ^a  ^ ^{e , e}
^{C  x  } ^{e , e}
_^{ c}11
^{c12  x  } ^{e , e}
_ ^{c11x  c12 y}  _{ e , e}
^{ x  xe}

• 
  y^e
  

1 2  _y 
1 2  _{c c}
 _y 
^{1 2 } c x  c y ^
1 2  _y 1 2

  
21 22  
 21 22   

^{Xuddi shunday, agar} ^{e1, e2 , e3} 
^{x  c11x  c12 y  c13z  a1} 

y^  c x  c y  c z  a ^
(5)

21 22 23 2 ^
z^  c x  c y  c z  a ^
31 32 33 3 
munosabat f affin almashtirishining analitik yozuvini bersa, u holda
^{x  c11x  c12 y  c13z} 
y^  c x  c y  c z ^
21 22 23 ^
z^  c x  c y  c z ^
31 32 33 


formulalar bu almashtirish bilan yuzaga kelgan f chiziqli akslantirishning analitik

yozuvidan iborat boʻladi, ya’ni
a  xe₁  ye₂  ze₃
vektor
^f ^a  ^{ xe1  ye2  ze3}
vektorga

oʻtadi.. Haqiqatan ham a  OM
deb
^f ^a ^{ f} _^OM _ ^{ f} ^O ^f ^M  ^{ OM }
ega boʻlamiz,

keyin esa ( 4^ ) tenglikdan foydalanish kerak
 ^x   <sup>c11


c</sup>12


^c13  ^x 

^f ^a  ^ ^{e , e , e} ^{C  y  } ^{e , e , e} ^{ c c c}
 _y  _

1 2 3 _{ } 1 2 3 _ 21 22 23 _{ }

^ z ^{ } c c c
 _z 

   31 32 33  

 ^{c11x  c12 y  c13z}   ^x
^ ^{e , e , e} ^{ c x  c y  c z  } ^{e , e , e} ^{ y  xe}

• 
  y^e
  

• 
  z^e
  

1 2 3
_ 21 22 23 _
1 2 3 _{ } 1 2 3

^ c x  c y  c z ^
 _z 

 31 32 33   