Период синуса: t sin
Download 56.56 Kb.
|
matem rus 112
|
1. Для нахождения наименьшего положительного периода функции необходимо найти такое значение T, при котором функция повторяется снова. Для функции y = 3sin(2x) + 2tan(3x) нам нужно рассмотреть периоды синуса и тангенса отдельно. Период синуса: Tsin= 2π/2 = π Период тангенса: Ttg = π/3 Наименьший общий период будет являться кратным их наименьшего общего кратного (НОК). В данном случае, НОК(Tsin, Ttg) = НОК(π, π/3) = 3π. Таким образом, наименьший положительный период функции y = 3sin(2x) + 2tan(3x) равен 3π 2. sina=2/3 tga=? (2/3)^2 + cos^2(a) = 1 4/9 + cos^2(a) = 1 cos^2(a) = 5/9 cos(a) = √(5/9) = √5/3 Теперь, используя найденные значения sin(a) и cos(a), мы можем вычислить tan(a): tan(a) = sin(a) / cos(a) = (2/3) / (√5/3) = 2/√5 Таким образом, tga = 2/√5 3. sin(a) = 2 * cos(a). Теперь, мы можем использовать тригонометрическую тождественность sin^2(a) + cos^2(a) = 1, чтобы выразить sin(a) через cos(a): (2 * cos(a))^2 + cos^2(a) = 1. Раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены, получим: 4 * cos^2(a) + cos^2(a) = 1, 5 * cos^2(a) = 1, cos^2(a) = 1/5. Так как a находится в интервале (0, π/2), то cos(a) > 0. Следовательно, cos(a) = √(1/5) = 1/√5 = √5/5. Таким образом, cosa = √5/5. 4. Если tg(π/3 - a) = 2, мы можем использовать тригонометрическое тождество tg(π/3 - a) = tg(π/3) - tg(a) / (1 + tg(π/3) * tg(a)) для вычисления tga. Известно, что tg(π/3) = √3. 2 = √3 - tg(a) / (1 + √3 * tg(a)). 2(1 + √3 * tg(a)) = √3 - tg(a). 2 + 2√3 * tg(a) = √3 - tg(a). 2 + tg(a) = √3 - 2√3 * tg(a). tg(a) + 2√3 * tg(a) = √3 - 2. tg(a)(1 + 2√3) = √3 - 2. tg(a) = (√3 - 2) / (1 + 2√3). Таким образом, tga = (√3 - 2) / (1 + 2√3) 5. Если a = -45 и b = 15, мы можем вычислить sin(a+b). Используя тригонометрическое тождество sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b), подставим значения a и b: sin(a+b) = sin(-45 + 15) = sin(-30). Мы знаем, что sin(-θ) = -sin(θ). Таким образом, sin(a+b) = -sin(30). Значение sin(30) равно 0.5. Таким образом, sin(a+b) = -0.5 6. Если cos(a) = 1/3, нам необходимо вычислить sin(a). Используя тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1, можем найти значение sin(a). Зная, что cos(a) = 1/3, можем решить уравнение: sin^2(a) + (1/3)^2 = 1. sin^2(a) + 1/9 = 1. Вычитая 1/9 из обеих сторон, получаем: sin^2(a) = 8/9. Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем: sin(a) = ±√(8/9). Учитывая, что sin(a) - функция синуса, которая принимает значения от -1 до 1, исключаем отрицательное значение. Таким образом, sin(a) = √(8/9) = 2√2/3. 7. Если tan(a) = 2, мы можем вычислить tan(2a). Для этого мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для тангенса: tan(2a) = (2 * tan(a)) / (1 - tan^2(a)). Подставляя значение tan(a) = 2 в формулу, получаем: tan(2a) = (2 * 2) / (1 - 2^2) = 4 / (1 - 4) = 4 / (-3) = -4/3. Таким образом, tan(2a) = -4/3 8. Если cos(2a) = -2/3, мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для синуса: sin(2a) = √(1 - cos^2(2a)). Подставляя значение cos(2a) = -2/3 в формулу, получаем: sin(2a) = √(1 - (-2/3)^2) = √(1 - 4/9) = √(5/9) = √5/3. Таким образом, sin(2a) = √5/3. 9. x + 2x + 3x = 180 6x = 180 x = 180/6 x = 30 Таким образом, меньший угол треугольника равен 30 градусам. 10. 12^2 + x^2 = 13^2 144 + x^2 = 169 x^2 = 169 - 144 x^2 = 25 x = √25 x = 5 Таким образом, второй катет этого прямоугольного треугольника равен 5. 11. Площадь треугольника = (основание * высота) / 2 В данном случае известна площадь треугольника, равная 21, и одно из оснований, равное 7. Подставим эти значения в формулу и найдем высоту треугольника: 21 = (7 * высота) / 2 Умножим обе части уравнения на 2: 42 = 7 * высота Выразим высоту, поделив обе части на 7: высота = 42 / 7 высота = 6 Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону длиной 7 единиц, равна 6 единиц Пусть стороны треугольника соответствуют коэффициентам 2x, 3x и 4x. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: 2x + 3x + 4x = 27 9x = 27 x = 3 Теперь, чтобы найти большую сторону треугольника, мы можем умножить значение x на соответствующий коэффициент: Большая сторона = 4x = 4 * 3 = 12 Таким образом, большая сторона треугольника равна 12. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна a, а периметр равен 22. Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон: 2a + 2b = 22 Меньшая сторона равна 5, поэтому: 2a + 2 * 5 = 22 2a + 10 = 22 2a = 22 - 10 2a = 12 a = 6 Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу: Площадь = a * b Подставим значение меньшей стороны a = 6 и периметра 22, чтобы найти вторую сторону b: b = (периметр - 2a) / 2 = (22 - 2 * 6) / 2 = 10 / 2 = 5 Теперь мы можем вычислить площадь: Площадь = a * b = 6 * 5 = 30 Таким образом, площадь прямоугольника равна 30. Площадь окружности вычисляется по формуле: Площадь = π * r^2 Диаметр окружности равен 12, поэтому радиус r = диаметр / 2 = 12 / 2 = 6 Теперь мы можем вычислить площадь: Площадь = π * r^2 = π * 6^2 = π * 36 Приближенное значение площади окружности равно 36π. 15.
В данной функции у нас есть два слагаемых, sin(3x) и ctg(5x). Период sin(3x) равен 2π/3. Период ctg(5x) равен π/5. Наименьший общий период функции будет являться наименьшим общим кратным периодов каждого слагаемого. НОК(2π/3, π/5) = 2π/((3/2) * (5/π)) = 10π/3. Таким образом, наименьший положительный период функции y = 5sin(3x) + 2ctg(5x) равен 10π/3. 16.
Так как cos(a) < 0 в данном интервале, мы берем отрицательный корень: cos(a) = -√(15/16) = -√15/4 = -(√15)/4 Зная значение cos(a), мы можем найти значение tg(a): tg(a) = sin(a)/cos(a) = (1/4)/(-(√15)/4) = -1/(√15) Таким образом, tg(a) = -1/(√15). 17.
tg^2(a) + 1 = sec^2(a) 5^2 + 1 = sec^2(a) 25 + 1 = sec^2(a) 26 = sec^2(a) Так как sec(a) > 0 в данном интервале, мы берем положительный корень: sec(a) = √26 Зная значение sec(a), мы можем найти значение cos(a): cos(a) = 1/sec(a) = 1/√26 Таким образом, cos(a) = 1/√26. 18.
tan(a) = -1/3 19. a + b = -75 + 15 = -60 sin(-60 градусов) ≈ -0.866 Таким образом, sin(a + b) при a = -75 и b = 15 примерно равен -0.866 20.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу cos(2a) = 1 - 2sin^2(a). Подставив значение sin(a) = 1/3 в формулу, получим: cos(2a) = 1 - 2(1/3)^2 = 1 - 2(1/9) = 1 - 2/9 = 7/9 Таким образом, cos(2a) равен 7/9 21.
tan(2a) = (2 * 4) / (1 - 4^2) = 8 / (1 - 16) = 8 / (-15) = -8/15 Таким образом, tan(2a) равен -8/15. 22.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу sin^2(a) = 1 - cos^2(a) для выражения sin(a). Так как a находится в интервале от 0 до π/2, мы знаем, что sin(a) будет положительным. Подставим значение cos(2a) = -2/5 в формулу: cos(2a) = 1 - 2sin^2(a) -2/5 = 1 - 2sin^2(a) Теперь решим это уравнение относительно sin^2(a): 2sin^2(a) = 1 + 2/5 sin^2(a) = 7/10 Так как sin(a) положительный, мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон: sin(a) = √(7/10) Значение sin(a) находится в интервале от 0 до 1, и мы не можем сократить дальше. Таким образом, sin(a) равно √(7/10) или приближенно примерно 0.8367. Пусть углы треугольника относятся как 3x : 4x : 5x, где x - общий множитель. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов, поэтому у нас есть уравнение: 3x + 4x + 5x = 180 12x = 180 x = 180 / 12 x = 15 Теперь мы можем найти каждый угол, умножив его соответствующий коэффициент на x: Меньший угол = 3x = 3 * 15 = 45 градусов. Ответ: Меньший угол треугольника равен 45 градусов. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой c и катетами a и b, мы имеем a^2 + b^2 = c^2. В данном случае, гипотенуза c = 26 и один из катетов a = 10. Найдем второй катет b: 10^2 + b^2 = 26^2 100 + b^2 = 676 b^2 = 676 - 100 b^2 = 576 b = √576 b = 24 Ответ: Второй катет треугольника равен 24. Площадь треугольника S = (1/2) * основание * высота. В данном случае, площадь S = 28 и одна из сторон (основание) равна 7. Найдем высоту треугольника (h): 28 = (1/2) * 7 * h 56 = 7h h = 56 / 7 h = 8 Ответ: Высота треугольника, опущенная на сторону равной 7, равна 8. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон. Пусть стороны треугольника относятся как 2x : 3x : 5x. Сумма сторон треугольника равна 2x + 3x + 5x = 10x. По условию, периметр треугольника равен 30, поэтому: 10x = 30 x = 30 / 10 x = 3 Теперь мы можем найти каждую сторону, умножив ее соответствующий коэффициент на x: Большая сторона = 5x = 5 * 3 = 15. Ответ: Большая сторона треугольника равна 15. Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна a. Тогда у нас есть: 2a + 2b = 32, где b - большая сторона прямоугольника. Также известно, что a = 7. Подставляя это значение, получим: 2 * 7 + 2b = 32 14 + 2b = 32 2b = 32 - 14 2b = 18 b = 18 / 2 b = 9 Теперь у нас есть значения обеих сторон прямоугольника: a = 7 и b = 9. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: Площадь = a * b = 7 * 9 = 63. Ответ: Площадь прямоугольника равна 63. Диаметр окружности равен 20, что означает, что радиус окружности равен половине диаметра, то есть 20 / 2 = 10. Площадь окружности вычисляется по формуле S = π * r^2, где r - радиус окружности. Подставляя значения, получаем: S = π * 10^2 = π * 100 ≈ 314.16 Ответ: Площадь окружности примерно равна 314.16 (в единицах площади, например, квадратных единицах). 29.
Угловая частота для функции косинуса cos(6x) равна 6, так как угол внутри функции умножается на 6. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3 и 6 равно 6, поскольку 6 является наименьшим общим кратным этих чисел. Таким образом, наименьший положительный период функции y = 5tg(3x) - 4cos(6x) равен 2π/6 = π/3. Ответ: Наименьший положительный период функции y = 5tg(3x) - 4cos(6x) равен π/3. 30.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу tan(a) = sin(a)/cos(a) для выражения tg(a) через sin(a) и cos(a). Используя тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем найти sin(a): sin^2(a) = 1 - cos^2(a) sin^2(a) = 1 - (-3/4)^2 sin^2(a) = 1 - 9/16 sin^2(a) = 7/16 Так как a находится в интервале от π/2 до π, sin(a) будет положительным. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон: sin(a) = √(7/16) sin(a) = √7/4 Теперь можем вычислить tg(a) по формуле: tg(a) = sin(a)/cos(a) tg(a) = (√7/4)/(-3/4) tg(a) = -√7/3 Ответ: tg(a) равно -√7/3. 31.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу cot(a) = 1/tan(a) для выражения tan(a) через cot(a). Используя данное нам значение cot(a) = 2, мы можем найти tan(a): cot(a) = 1/tan(a) 2 = 1/tan(a) Перевернем обе стороны уравнения: tan(a) = 1/2 Таким образом, tan(a) равно 1/2. Мы знаем, что a находится в интервале от 0 до π/2, и в этом интервале tan(a) положителен. Значит, tan(a) = 1/2 соответствует углу a = π/4. Теперь мы можем вычислить sin(a) по формуле: sin(a) = sqrt(1 - cos^2(a)) sin(a) = sqrt(1 - (cos^2(a) + sin^2(a))) sin(a) = sqrt(1 - (1/2)^2) sin(a) = sqrt(1 - 1/4) sin(a) = sqrt(3/4) sin(a) = sqrt(3)/2 Ответ: sin(a) равно sqrt(3)/2 32.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу tan(π/6 - a) = (tan(π/6) - tan(a))/(1 + tan(π/6) * tan(a)). Значение tan(π/6) равно √3/3. Подставим это значение в уравнение: (√3/3 - tan(a))/(1 + (√3/3) * tan(a)) = 1 Упростим уравнение: √3/3 - tan(a) = 1 + (√3/3) * tan(a) Перенесем все тангенсы на одну сторону уравнения: (√3/3 + (√3/3) * tan(a)) = √3/3 + tan(a) Упростим обе стороны уравнения: √3/3 * (1 + tan(a)) = √3/3 + tan(a) Умножим обе стороны на 3/√3 для упрощения: (1 + tan(a)) * √3 = 1 + √3 * tan(a) Раскроем скобки: √3 + √3 * tan(a) = 1 + √3 * tan(a) Избавимся от √3 * tan(a) на обеих сторонах: √3 = 1 Это уравнение явно неверно, так как √3 не равно 1. Таким образом, нет решения для данного уравнения. Ответ: Нет решения для угла a. 33.
sin(75 + (-30)) = (3/4) - (1/4) sin(75 + (-30)) = 2/4 sin(75 + (-30)) = 1/2 Ответ: sin(a+b) = 1/2. 34.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу cos(2a) = 1 - 2sin^2(a) для выражения cos(2a) через sin(a). Подставим значение sin(a) в формулу: cos(2a) = 1 - 2(sin(a))^2 cos(2a) = 1 - 2(2/5)^2 cos(2a) = 1 - 2(4/25) cos(2a) = 1 - 8/25 cos(2a) = (25 - 8)/25 cos(2a) = 17/25 Ответ: cos(2a) равно 17/25. 35.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу tan(2a) = (2tan(a))/(1 - tan^2(a)) для выражения tan(2a) через tan(a). Подставим значение tan(a) = -2 в формулу: tan(2a) = (2tan(a))/(1 - tan^2(a)) tan(2a) = (2(-2))/(1 - (-2)^2) tan(2a) = (-4)/(1 - 4) tan(2a) = (-4)/(-3) tan(2a) = 4/3 Ответ: tan(2a) равно 4/3. 36.
Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу sin^2(a) + cos^2(a) = 1 для выражения sin(a) через cos(2a). Используя данное нам значение cos(2a) = -2/7, мы можем найти sin^2(a): sin^2(a) = 1 - cos^2(a) sin^2(a) = 1 - (-2/7)^2 sin^2(a) = 1 - 4/49 sin^2(a) = 45/49 Так как a находится в интервале от 0 до π/2, sin(a) будет положительным. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон: sin(a) = √(45/49) sin(a) = √45/7 Ответ: sin(a) равно √45/7. Пусть x представляет меньший угол треугольника. Из условия известно, что отношение внутренних углов треугольника составляет 4:5:9. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, мы можем записать уравнение: 4x + 5x + 9x = 180 18x = 180 x = 180 / 18 x = 10 Ответ: Меньший угол треугольника равен 10 градусам. В данном случае, один катет равен 7, а гипотенуза равна 10. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета: a^2 + b^2 = c^2 где a и b - катеты, а c - гипотенуза треугольника. В данном случае, a = 7 и c = 10. Подставим значения в уравнение: 7^2 + b^2 = 10^2 49 + b^2 = 100 b^2 = 100 - 49 b^2 = 51 b = √51 Ответ: Второй катет треугольника равен √51. Пусть h обозначает высоту треугольника, а s - одну из его сторон. Мы знаем, что площадь треугольника равна 32 и одна из его сторон равна 8. Мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника: Площадь = (1/2) * основание * высота 32 = (1/2) * 8 * h Решим уравнение: 32 = 4h h = 32 / 4 h = 8 Ответ: Высота треугольника, опущенная на сторону длиной 8, равна 8 Пусть a, b и c обозначают стороны треугольника. Мы знаем, что отношение сторон треугольника составляет 3:3:5, а периметр равен 33. Пусть x обозначает множитель для данного отношения. Тогда: a = 3x b = 3x c = 5x Периметр треугольника равен сумме всех сторон: a + b + c = 3x + 3x + 5x = 11x Таким образом, 11x = 33. Решим это уравнение: x = 33 / 11 x = 3 Теперь мы можем найти большую сторону треугольника: c = 5x = 5 * 3 = 15 Ответ: Большая сторона треугольника равна 15. Пусть a и b обозначают стороны прямоугольника, а P обозначает его периметр. Мы знаем, что меньшая сторона равна 10, а периметр равен 50. По определению периметра: P = 2a + 2b В данном случае, a = 10. Подставим значения в уравнение: 50 = 2(10) + 2b 50 = 20 + 2b 2b = 50 - 20 2b = 30 b = 30 / 2 b = 15 Теперь у нас есть значения обеих сторон прямоугольника. Мы можем найти его площадь, умножив длину на ширину: Площадь = a * b = 10 * 15 = 150 Ответ: Площадь прямоугольника равна 150. Для нахождения площади окружности с диаметром 26, мы можем использовать формулу площади окружности: Площадь = π * (радиус)^2 Диаметр равен 26, поэтому радиус равен половине диаметра: Радиус = 26 / 2 = 13 Подставим значение радиуса в формулу: Площадь = π * (13)^2 Вычислим: Площадь = 169 * π Ответ: Площадь окружности равна 169π (или около 530.66, если округлить до двух десятичных знаков). 43.
To find tan(a), we can use the identity tan(a) = sin(a)/cos(a). Using the Pythagorean identity sin^2(a) + cos^2(a) = 1, we can find sin(a): sin^2(a) = 1 - cos^2(a) sin^2(a) = 1 - (-5/6)^2 sin^2(a) = 1 - 25/36 sin^2(a) = 36/36 - 25/36 sin^2(a) = 11/36 Since a is in the range π/2 to π, sin(a) is positive. Taking the square root of both sides: sin(a) = √(11/36) sin(a) = √11/6 Now we can find tan(a): tan(a) = sin(a)/cos(a) tan(a) = (√11/6) / (-5/6) tan(a) = (√11/6) * (-6/5) tan(a) = -√11/5 Answer: tan(a) is equal to -√11/5. 44.
Период тангенса (tg) равен π, поэтому период функции -3tg(2x) будет равен π/2 (половина от периода тангенса). Период косинуса (cos) равен 2π/3, поэтому период функции 2cos(3x) будет равен 2π/9 (треть от периода косинуса). Наименьший положительный период функции будет наименьшим общим кратным (НОК) периодов каждой составляющей. Чтобы найти НОК, мы можем использовать формулу: НОК(π/2, 2π/9) = (π/2) * (9/2π) = 9/4 Таким образом, наименьший положительный период функции y = -3tg(2x) + 2cos(3x) равен 9/4. 45.
To find sin(a), we can use the identity cot(a) = cos(a)/sin(a). Rearranging the equation, we have sin(a) = cos(a)/cot(a). Given that cot(a) = 2/3, we can substitute this value: sin(a) = cos(a) / (2/3) sin(a) = cos(a) * (3/2) sin(a) = (3/2) * cos(a) Using the Pythagorean identity sin^2(a) + cos^2(a) = 1, we can find cos(a): cos^2(a) = 1 - sin^2(a) cos^2(a) = 1 - [(3/2) * cos(a)]^2 cos^2(a) = 1 - (9/4) * cos^2(a) 4 * cos^2(a) = 4 - 9 * cos^2(a) 13 * cos^2(a) = 4 cos^2(a) = 4/13 cos(a) = √(4/13) cos(a) = 2/√13 Now, substitute this value of cos(a) back into the equation for sin(a): sin(a) = (3/2) * cos(a) sin(a) = (3/2) * (2/√13) sin(a) = 3/√13 Since a is in the range 0 to π/2, sin(a) is positive. Answer: sin(a) is equal to 3/√13. 46.
To find tan(a), we can use the identity cot(θ) = 1/tan(θ). Rearranging the equation, we have tan(π/6 - a) = 1/4. Using the angle subtraction formula for tangent, tan(π/6 - a) = (tan(π/6) - tan(a)) / (1 + tan(π/6) * tan(a)). Since tan(π/6) = 1/√3, we can substitute this value into the equation: (1/√3 - tan(a)) / (1 + (1/√3) * tan(a)) = 1/4. To simplify the equation, we can multiply both sides by the denominator: 1/√3 - tan(a) = (1/4) * (1 + (1/√3) * tan(a)). Simplifying further: 1/√3 - tan(a) = (1/4) + (1/4√3) * tan(a). Now, isolate tan(a) on one side of the equation: tan(a) + (1/4√3) * tan(a) = 1/√3 - 1/4. Combining like terms: (1 + 1/4√3) * tan(a) = 1/√3 - 1/4. Now, divide both sides by (1 + 1/4√3): tan(a) = (1/√3 - 1/4) / (1 + 1/4√3). To simplify further, rationalize the denominator: tan(a) = ((1/√3 - 1/4) * (4√3 - 1)) / ((1 + 1/4√3) * (4√3 - 1)). tan(a) = (4/3√3 - √3/4 - 1/√3 + 1/4) / (4 + √3/4 + 4√3 - 1/4√3). Simplifying the expression: tan(a) = (16 - 4√3 - 3 + √3) / (12 + 1 + 16√3 - √3/4). tan(a) = (13 - 3√3) / (13 + 16√3). Therefore, tan(a) is equal to (13 - 3√3) / (13 + 16√3). 47.
To find cos(a - b), we can use the cosine difference formula: cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b). Let's calculate the values of cos(a) and sin(a): cos(a) = cos(75) ≈ 0.2588 sin(a) = sin(75) ≈ 0.9659 Now, let's calculate the values of cos(b) and sin(b): cos(b) = cos(-15) = cos(15) ≈ 0.9659 sin(b) = sin(-15) = -sin(15) ≈ -0.2588 Substituting these values into the cosine difference formula: cos(a - b) = (0.2588) * (0.9659) + (0.9659) * (-0.2588) cos(a - b) ≈ 0.2499 - 0.2499 cos(a - b) ≈ 0 48. Для решения данной задачи, воспользуемся тригонометрическим тождеством: cos(2a) = 1 - 2sin^2(a) Поскольку дано значение sin(a) = 4/7, мы можем вычислить sin^2(a) следующим образом: sin^2(a) = (4/7)^2 = 16/49 Теперь, используя тождество, мы можем вычислить cos(2a): cos(2a) = 1 - 2 * (16/49) = 1 - 32/49 = 17/49 Таким образом, cos(2a) равно 17/49. 49. tg(2a) = 2 * 5 / (1 - 5^2) = 10 / (1 - 25) = 10 / (-24) = -5/12 Therefore, tg(2a) is equal to -5/12. 50.
Начнем с формулы двойного угла для косинуса: cos(2a) = 2cos^2(a) - 1. У нас уже есть значение cos(2a) = -5/6, поэтому мы можем подставить это значение в формулу: -5/6 = 2cos^2(a) - 1. Давайте решим это уравнение относительно cos^2(a): 2cos^2(a) = -5/6 + 1 2cos^2(a) = 1/6. Теперь найдем cos(a): cos^2(a) = 1/12. Воспользуемся формулой cos^2(a) + sin^2(a) = 1: 1/12 + sin^2(a) = 1. sin^2(a) = 1 - 1/12 sin^2(a) = 11/12. Извлекая квадратный корень, получаем: sin(a) = ±√(11/12). Так как a находится в интервале от 0 до π/2, sin(a) должен быть положительным. Таким образом: sin(a) = √(11/12). После упрощения выражения, получаем: sin(a) = √11/√12, sin(a) = √11/2√3, sin(a) = √33/6. Таким образом, sina = √33/6. b^2 = 132. Извлекая квадратный корень, получаем: b = √132. Таким образом, второй катет равен √132. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Пусть сторона треугольника равна a, а высота, опущенная на эту сторону, равна h. Тогда площадь можно записать следующим образом: S = (1/2) * a * h. Мы знаем, что площадь S равна 55, а сторона a равна 11. Подставляя эти значения в уравнение, получаем: 55 = (1/2) * 11 * h. Упрощаем выражение: 55 = 5.5h. Делим обе части уравнения на 5.5: 10 = h. Таким образом, высота, опущенная на сторону равной 11, равна 10. Пусть стороны треугольника равны 5x, 6x и 7x, где x - коэффициент пропорциональности. По определению периметра треугольника, сумма его сторон равна 54: 5x + 6x + 7x = 54. Складывая коэффициенты при x, получаем: 18x = 54. Делим обе части уравнения на 18: x = 54 / 18, x = 3. Теперь можем найти большую сторону треугольника, подставляя x в выражение: 7x = 7 * 3 = 21. Таким образом, большая сторона треугольника равна 21. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна a. По определению периметра прямоугольника, сумма всех его сторон равна 50: 2a + 2b = 50, где b - большая сторона прямоугольника. Мы уже знаем, что a = 12. Подставляя это значение в уравнение, получаем: 2 * 12 + 2b = 50, 24 + 2b = 50. Вычитаем 24 из обеих частей уравнения: 2b = 50 - 24, 2b = 26. Делим обе части уравнения на 2: b = 26 / 2, b = 13. Теперь мы знаем, что a = 12 и b = 13. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его стороны: Площадь = a * b = 12 * 13 = 156. Таким образом, площадь прямоугольника равна 156. Диаметр окружности равен 22. Формула для нахождения площади окружности: Площадь = π * (радиус)^2. Радиус окружности равен половине диаметра: Радиус = 22 / 2 = 11. Теперь мы можем найти площадь окружности: Площадь = π * (11)^2 = π * 121. Значение числа π можно округлить до приближенного значения 3.14: Площадь ≈ 3.14 * 121 ≈ 380.14. Таким образом, площадь окружности примерно равна 380.14. 57.
Чтобы найти наименьший положительный период функции, мы должны найти наименьшее положительное число, на которое нужно сдвинуть аргумент функции, чтобы функция повторилась. Рассмотрим функцию y = 3sin(6x) - ctg(3x). Функция синуса имеет период 2π, поэтому период члена 3sin(6x) будет равен (2π)/6 = π/3. Функция ctg(x) имеет период π, поэтому период члена -ctg(3x) будет равен π/3. Наименьший общий период функции будет равен наименьшему общему кратному периоду двух членов. НОК(π/3, π/3) = π/3. Таким образом, наименьший положительный период функции y = 3sin(6x) - ctg(3x) равен π/3. 58.
cot(a) = 1/tan(a) = 1/√(1 - cos^2(a))/cos(a). cot(a) = 1/7, 1/7 = 1/√(1 - cos^2(a))/cos(a). 7 * cos(a) = √(1 - cos^2(a)). 49 * cos^2(a) = 1 - cos^2(a). 50 * cos^2(a) = 1. cos^2(a) = 1/50. cos(a) = ±√(1/50). cos(a) = √(1/50). cos(a) = √(1/50) = 1/√50 = 1/(√(50) * (√(50)/√(50))) = 1/(√50 * √50) = 1/√2500 = 1/50√2 = √2/100. 59. cot(a) = 1/7, cot(a) = 1/tan(a) = cos(a)/sin(a). cot(a) = 1/7, 1/7 = cos(a)/sin(a). 7sin(a): 7sin(a) = cos(a). sin^2(a) + cos^2(a) = 1, we can solve for sin(a): sin^2(a) + (7sin(a))^2 = 1, sin^2(a) + 49sin^2(a) = 1, 50sin^2(a) = 1, sin^2(a) = 1/50. sin(a) = ±√(1/50). sin(a) = √(1/50). 7sin(a) = cos(a): 7√(1/50) = cos(a). cos(a) = 7√(1/50) = 7/√50 = 7/(√(50) * (√(50)/√(50))) = 7/(√50 * √50) = 7/√2500 = 7/50√2 = 7√2/100. 60. tg(π/4 + a) = 5,: tg(π/4 + a) = (tg(π/4) + tg(a))/(1 - tg(π/4) * tg(a)) = (1 + tg(a))/(1 - tg(a)). (1 + tg(a))/(1 - tg(a)) = 5. 1 + tg(a) = 5 * (1 - tg(a)). 1 + tg(a) = 5 - 5tg(a). tg(a) + 5tg(a) = 5 - 1. 6tg(a) = 4. tg(a) = 4/6. tg(a) = 2/3. 2/3. 61.
sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b). sin(a) = sin(-38) cos(a) = cos(-38) sin(b) = sin(68) cos(b) = cos(68) sin(-38) ≈ -0.6157 cos(-38) ≈ 0.7880 sin(68) ≈ 0.9272 cos(68) ≈ 0.3746 sin(a + b) = (-0.6157) * (0.3746) + (0.7880) * (0.9272). sin(a + b) ≈ -0.2306 + 0.7305 ≈ 0.4999. sin(a + b) = 0.4999. 62. cos(a) = 5/6, cos(2a) cos(2a) = 2 * cos^2(a) - 1. cos(a) = 5/6 cos(2a) = 2 * (5/6)^2 - 1. cos(2a) = 2 * (25/36) - 1 = 50/36 - 1 = 25/18 - 1 = 25/18 - 18/18 = (25 - 18)/18 = 7/18. , cos(2a) = 7/18. 63. tg(a) = 2/3, tg(2a) tg(2a) = (2 * tg(a))/(1 - tg^2(a)). tg(a) = 2/3 tg(2a) = (2 * (2/3))/(1 - (2/3)^2). tg(2a) = (4/3)/(1 - 4/9) = (4/3)/(5/9) = (4/3) * (9/5) = 36/15 = 12/5. , tg(2a) = 12/5. 64. cos(2a) = 1/3, cos(2a) = 2 * cos^2(a) - 1. cos(2a) = 1/3 1/3 = 2 * cos^2(a) - 1. 4/3 = 2 * cos^2(a). 2/3 = cos^2(a). cos(a) = ±√(2/3). (0, π/2), cos(a) = √(2/3). sin^2(a) + cos^2(a) = 1: sin^2(a) + (2/3) = 1. sin^2(a) = 1 - (2/3) = 3/3 - 2/3 = 1/3. sin(a) = ±√(1/3). (0, π/2), sin(a) = √(1/3). Чтобы найти меньший угол треугольника, мы должны разделить наибольший угол на сумму всех углов и затем умножить результат на 180 градусов. Пусть углы треугольника относятся как 11:12:13. Пусть x - это множитель, который мы умножаем на каждый угол, чтобы получить соответствующую меру угла. Тогда углы можно представить как 11x, 12x и 13x. Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому: 11x + 12x + 13x = 180. Сложим коэффициенты: 36x = 180. Download 56.56 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|