План Введение I. Основные понятия и теоремы

II.Признаки сравнения рядов.
Интегральный признак Коши- Маклорена .
Теорема 4. Пусть функция неотрицательна и не возрастает всюду на прямой , где - любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд ( 5)
сходится в том и только в том случае, когда существует предел при последовательности (6)
Доказательство. Пусть - любой номер, удовлетворяющий условию , а - любое значение аргумента сегмента . Так как по условию функция не возрастает на указанном сегменте, то для всех из указанного сегмента справедливы неравенства (7)
Функция ),будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте . Более того неравенств (7) вытекает,

или
(8)
Неравенства (8) установлены для любого .
Запишем эти неравенства для значений
где - любой номер, превосходящий :
,

…………………………………..
.
Складывая почленно записанные неравенства, получим
(9)
Символ обозначает n-тую частичную сумму ряда (1) равную
(10).
Неравенства (10) позволяют без труда доказать теорему. На самом деле, из формулы (6) очевидно, что последовательность является неубывающей. Стало быть, для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (5) необходима и достаточна ограниченность последовательности , согласно утверждению: « Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм ряда была ограничена». Из неравенства (10) вытекает, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность , т.е.тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Теорема доказана.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение. Проведем исследование с помощью интегрального признака. Имеем , в этом случае
Если , то несобственный интеграл сходится,
Если , то несобственный интеграл расходится,
И, наконец, если , то несобственный интеграл расходится: Итак, данный ряд сходится при и расходится при .
Ответ: при ряд сходится, при ряд расходится.
Признаки сходимости характеризуется классом тех, к которым эти признаки применимы. Например, критерий сходимости Коши применим ко всем вообще численным рядам; интегральный признак Маклорена- Коши применим к рядам, в которых положительные члены монотонно убывают с увеличением их номера. Всякая попытка анализа сходимости ряда при помощи того или иного признака должна начинаться с проверки того, входит ли исследуемый ряд в сферу применимости используемого признака после чего возникает вопрос об удобстве, простоте, фактической возможности применения этого признака.