План Введение I. Основные понятия и теоремы

Основные понятия и определения.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
(1)
Составленный из этих чисел символ (2)
называется бесконечным рядом, а сами числа (1)- членом ряда.
(3)
получаем частные суммы ряда. Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2) при :
называют суммой ряда и пишут
.
Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае (т.е. если сумма равна , либо же суммы вовсе нет)- расходящимся.
Т.о, вопрос о сходимости ряда (2) по определению равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3).
Примеры бесконечного ряда.
1). )= , явно расходящийся, т.к. .
2). .

при любом целом .

3).
1. Сходимость положительных рядов.
Ряд, в котором все члены ряда неотрицательные, называют положительными. Пусть ряд (4)
будет положительным, т.е. .
Тогда очевидно
т.е. варианта оказывается возрастающей. Приведем простую теорему, на которой основаны все признаки сходимости (и расходимости) положительных рядов:
Положительный ряд (4) всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд- сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечный (а ряд расходящимся) в противном случае.
2. Теоремы сравнения рядов.
Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом , заведомо сходящимся или расходящимся.
Теорема 1.Пусть даны два положительных ряда:
(A)
(B)
Если хотя бы начиная с некоторого номера, выполняется неравенство: , то из сходимости ряда A или из расходимости ряда А следует расходимость ряда В.
Предположим, что .Из этого вытекает еще одно простое утверждение.
Теорема 2. Если существует предел ( ), то
из сходимости ряда B, при K , вытекает сходимость ряда A,а
из расходимости первого ряда, при , вытекает расходимость второго.
( т.е. при оба ряда сходятся или расходятся одновременно).
Доказательство.
Пусть ряд В сходится и . Взяв произвольное ε , по определению предела, для любых будем иметь , откуда .
Одновременно с рядом будет сходиться и ряд , полученный умножением его членов на постоянное число (это никак не отразится на сходимости ряда). Отсюда, по теореме 1, вытекает сходимость ряда .
Если же ряд расходится и , то в этом случае имеет место отношение имеет конечный предел; ряд А должен быть расходящимся, т.к.если бы он сходился, то сходился бы и ряд B.Теорема доказана.
Теорема 3.Если, начиная с некоторого номера выполняется:
, то
1).из сходимости ряда B вытекает сходимость A,
2).из расходимости A вытекает расходимость ряда B.
Примеры .1.
При ряд расходится,
При ряд меньше членов сходящегося ряда данный ряд сходится.
2.Иследовать ряд на сходимость.
т.к. , а ряд сходится, следовательно, по теореме 3 данный ряд сходится.
3. расходится (по теореме 1) т.к. .
4. (b сходится по теореме 2 при s , расходится при