План Введение I. Основные понятия и теоремы

5. Признак Куммера.
Теперь введем один общий признак, принадлежащий Куммеру (E.E.Kummer); его скорее можно рассматривать как общую схему для получения общих признаков.
Признак Куммера. Пусть дан расходящийся ряд (16 )
с положительными членами.
Если для ряда (17)
начиная с некоторого номера , выполняется неравенство
, (18)
то ряд (17) сходится.
Если же, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство (19)
то ряд (17) сходится.
Доказательство. Пусть выполняется соотношение (18). Известно, что изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость. Поэтому можно считать, что (18) имеет место для всех n, начиная с . Из (18) следует, что
(20)
И поэтому значит, числа образуют монотонно убывающую последовательность положительных чисел. Пусть α– ее предел.
Рассмотрим ряд (21)
n- тая частичная сумма этого ряда есть
.
Переходя к пределу при возрастании N, получим
, то есть ряд (21) сходится. Но тогда на основании (20) по теореме 1сходится и ряд , и тем самым - исходный ряд.
Пусть теперь, наоборот, имеет место (19). Тогда имеет место неравенство
и сравнение исследуемого ряда с заведомо расходящимся рядом (16) при помощи теоремы 3дает нам его расходимость. Теорема доказана.
Подобно признакам сходимости Даламбера и Коши, признак Куммера может быть сформулирован и в предельной форме:
Если даны ряд (17) и расходящийся ряд (16), то из неравенства следует сходимость ряда (17),
а из неравенства его расходимость.
Подчеркнем, что описанный только что признак сходимости Куммера является общим признаком: выбирая различным образом расходящийся ряд (16), будем получать различные конкретные признаки сходимости. Неудобства непосредственного практического приложения признака сходимости Куммера связаны с зависимостью его от «эталонного» расходящегося ряда (16). Поэтому представляется целесообразно выбирать заранее некоторую серию расходящихся рядов по каждому из них составить соответствующую реализацию признака Куммера.