План Введение I. Основные понятия и теоремы

Логарифмический признак.
Логарифмический признак сходимости - признак сходимости числовых рядов с положительными членами. Фактически этот признак сходимости сводится к сравнению исследуемого на сходимость ряда с обобщенным гармоническим рядом (рядом Дирихле).
Теорема: Ряд сходится, если при выполняется неравенство:
, где
Если , начиная с некоторого номера , то ряд расходится.
Формулировка в предельной форме. Если при неограниченном возрастании отношение стремиться к пределу , то ряд – сходящийся, если , расходящийся, если . Случай остается сомнительным и требует дополнительных исследований.
Признак Даламбера и Коши основаны на сравнениях рассматриваемого ряда с рядом геометрической прогрессии, а признак Раабе – на сравнении с более медленно сходящимся рядом (24)
Естественно, возникает вопрос о том, не существует ли такой универсальный (предельно медленно!) сходящийся ( или расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости (или расходимости) любого наперед заданного ряда с положительными членами.
Докажем, что такого ряда не существует. Пусть заданы 2 сходящихся ряда (25)
и ; (26)
обозначим символами и соответственно их n-тые остатки. Будем говорить, что ряд (26) сходится медленнее, чем ряд (25), если . Докажем, что для каждого сходящегося ряда существует ряд, сходящийся медленнее этого ряда. В самом деле, пусть - любой сходящийся ряд; - его остаток. Докажем, что ряд , где сходится медленнее, чем ряд (25).
В самом деле, если -й остаток ряда (26), то

Докажем теперь отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости любого наперед взятого сходящегося ряда. В самом деле, если бы такой универсальный сходящийся ряд (25) существовал, то взяв для него построенный выше ряд (26), то мы получили бы, что

Таким образом, из сравнения с рядом нельзя сделать заключения о сходимости ряда
Аналогично доказывается отсутствие универсального расходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о расходимости любого наперед взятого расходящегося ряда.

Выводы
Ряды широко используются в математике и ее приложениях, в теоретических исследованиях, так и при приближенных численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных рядов, с помощью которых удобно вычислять их приближенные значения с нужной точностью. Метод разложения в ряды является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных).