План Введение I. Основные понятия и теоремы

Признак Бертрана.
Теорема Бертрана. Пусть существует предел
.
Тогда при ряд (17) сходится, а при - расходится.
Доказательство. Доказательство следует из теоремы Куммера. Действительно, так как то варианта Куммера стремится к пределу . Остается сослаться на признак Куммера,т.е:
.
Теорема доказана.
Признак Гаусса.
Из признаков Даламбера, Раабе и Бертрана легко может быть получен следующий признак Гаусса (C.F. Gauss).
Теорема Гаусса. Пусть для ряда (17) отношение соседних членов может быть представлено в виде (22)
где λ и μ- постоянные, а - ограниченная величина. Тогда ряд (17) сходится, если или и . Этот ряд расходится, если или и .
Доказательство. Прежде всего заметим, что , так что при утверждение признака Гаусса превращается в утверждение признака Даламбера. Далее, при и признак Гаусса вытекает из признака Раабе. Наконец,
при Последний предел ввиду ограниченности величины равен нулю, и расходимость ряда (17) следует из признака Бертрана. Теорема доказана.
Однако не всегда можно представить отношение соседних членов ряда в виде (22). Например, для ряда отношение соседних членов ряда равно
).
Или, разлагая как функцию от в ряд Маклорена и удерживая два первых члена,

где - ограниченные числа, причем, нетрудно проверить, что все могут быть ограничены снизу некоторой положительной постоянной. Значит, отношение соседних членов ряда непредставимо в виде (22).
Примеры.
1).Исследовать на сходимость ряд
Так как то поэтому ряд сходится.
2). Исследовать на сходимость ряд , если:
a). b).
Решение:
a). так как при всех выполняются неравенства
, то , и из сходимости ряда следует сходимость ряда .
b). так как , то из расходимости гармонического ряда следует расходимость ряда
3). Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Гаусса, если .
Решение.
Заметим, что , где где Следовательно, где . Если , т.е. , то ряд сходится. Если же , то ряд расходится.