План Введение I. Основные понятия и теоремы

4.Признак Раабе.
В тех случаях, когда указанные простые признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с другими стандартными рядами, так сказать «медленнее» сходящимися или «медленнее» расходящимися, чем прогрессия.
Признак Раабе (I.L.Raabe) осуществляет сравнение данного ряда
(13)
с гармоническими рядами - сходящимися:
(14

и расходящимися: (15)

именно с помощью теоремы 3. При этом приходится рассматривать варианту Раабе: .
Признак Раабе. Если при достаточно больших n, выполняется неравенство где r- постоянное число, больше единицы, то ряд сходится, если же, начиная с некоторого номера, то ряд расходится.
Итак, пусть при достаточно больших n имеем: или Возьмем теперь любое число s между 1 и r: .
Т.к. по известному предельному соотношению: то для достаточно больших n будет
а следовательно, и Это же неравенство можно переписать следующим образом: .
Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ряда ; применив теорему 3, убеждаемся в сходимости ряда .
то отсюда сразу находим, что ; применив к рядам теорему 3, делаем вывод, что ряд расходится.
Признак Раабе тоже применяется преимущественно в предельной форме. Допустим, что имеет предел: . Тогда при ряд сходится, при расходится.
Сравнивая признаки Даламбера и Раабе, видим, что последний значительно сильнее первого. Если предел существует и отличен от единицы, то для существует предел , равный при и .
Т.о. если признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает. Более того, все такие случаи охватываются всеми двумя из возможных значений , именно . Все остальные значения (исключая также дающие ответ на вопрос о сходимости, соответствуют, таким образом, случаям, когда признак Даламбера заведомо ответа не дает, потому что .
Примеры. Установить сходимость рядов
1).по признаку Коши:
a). ряд сходится;
б). ряд расходится;
в).
Если , то и ряд расходится,
если , то и ряд сходится.
будет и поведение зависит от значений : при ряд сходится, при ряд расходится, при ответа конкретного нет, нужно провести дополнительные исследования.
2). По признаку Даламбера:
а). , ряд сходится;
б). ,
ряд сходится при и расходится при ( подставляем в равенство и непосредственно в этом убеждаемся);
в). , ;
ряд сходится при и расходится при получается гармонический ряд, поведение которого зависит от значения .
3).Приведем примеры применения признака Раабе:
а). , где .
Здесь признаки Коши и Даламбера не действуют. Применим признак Раабе. Легко проверить, что )= . Нетрудно сообразить, что последняя дробь при стремится к производной функции в точке , т.е. стремится к . В силу признака Раабе рассматриваемый ряд сходится при , т.е. при и расходится при , т.е. при При вопрос о сходимости ряда требует дополнительного исследования, т.к. признак Раабе «не действует».
б). . Признак Даламбера к этому ряду неприменим, т.к. . Составим варианту Раабе: , т.к. , то ряд сходится;
в).
т.к. то здесь признак Даламбера неприложим. Имеем, далее, , так что . Т.о. при ряд расходится, а при сходится; при получается расходящийся гармонический ряд.
г). , где положительная варианта, имеющая конечный предел , имеем Далее ; Итак при ряд сходится, при ряд расходится. При в общем случае ничего сказать нельзя: поведение ряда зависит от характера приближений