План Введение I. Основные понятия и теоремы

1. Признак Коши.
Теорема(Коши) Составим для ряда А варианту: .Если, при достаточно больших , выполняется неравенство , где q - постоянное число меньшее единицы, то ряд сходится;
Если же, начиная с некоторого номера, , то ряд расходится.
Действительно, неравенства равносильны, соответственно, таким: или ; остается применить соответствующую теорему.
Чаще всего применяют признак Коши в предельной форме.
Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет): =C. Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.
Перейдем к рассмотрению рядов вида , (11)
где при всех . Ряды такого вида называют рядами с положительными членами.
2. Признак Даламбера.
Теорема. Рассмотрим для ряда (*)
Тогда

1. 
   При ряд сходится, а при – расходится;
   
2. 
   Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды при .
   

Доказательство.
(i) Пусть . Тогда в силу определения предела последовательности для данного такого, что выберем число такое, что . Заметим, что
. (12)
В силу первой теоремы ряд сходится, поскольку сходится ряд
имеет место (12).
Пусть теперь . Рассуждая, получим неравенство

где число такое, что . Результат получится, если сравнить ряд (11) с рядом .
(ii)Применим признак Даламбера к обобщенному гармоническому ряду . Однако известно, что при обобщенный гармонический ряд расходится, а при сходится.Теорема доказана.
И в этом случае удобнее пользоваться предельной формой признака:
Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет): =D. Тогда при ряд сходится, ряд расходится, при этот признак ничего не дает.
называют вариантой Даламбера.
Из существования предела для варианты вытекает уже существование предела и для , причем оба предела равны. Т.о, во всех случаях, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда, ответ может быть получен и с помощью Коши. Обратное утверждение неверно и признак Коши сильнее признака Даламбера. Однако на практике пользование признаком Даламбера обычно проще.