Подобный вид моделирования весьма широко распространен и в настоящее время

5. ПОВЕДЕНИЕ ГИБРИДНОГО АВТОМАТА

Строя некоторый математический формализм мы стремимся в качестве его прототипа выбрать некоторый класс реальных объектов, свойства которых он должен воспроизводить. Примером содержательного поведения гибридного автомата может служить полет и отскок мячика. Характерными особенностями рассматриваемых нами реальных процессов и соответствующих им моделей являются их бесконечное развитие во времени и детерминированность. Возможность бесконечного движения системы и детерминированность свойственна естественно и классической динамической системе, что обеспечивается существованием и единственностью решения в окрестности начальной точки и его продолжаемостью на всю временную ось. Возникает вопрос, при каких условиях эти свойства будут и у траекторий гибридной системы.

5.1. Бесконечные траектории примитивного гибридного автомата

Очевидно, что в примитивном гибридном автомате бесконечное движение системы будет наблюдаться либо при бесконечном срабатывании перехода, либо при вырождении системы в некоторый момент времени в классическую динамическую систему. При очевидном условии, что инвариант будет истинным на решении с любым начальным условием, выбранным с помощью функции Init. В противном случае поведение автомата следует считать недопустимым, и он должен вырабатывать специальный символ, говорящий о невозможности дальнейшей работы. В этом случае, с точки зрения внешнего наблюдателя, происходит, как иногда говорят, блокировка автомата.

Для вырождения в классическую динамическую систему достаточно, чтобы на очередном временном промежутке при выбранных начальных условиях никогда бы не стал истинным предикат, обеспечивающий очередное срабатывание перехода, и всегда обеспечивалась бы истинность инварианта на решении.
Будем называть примитивный автомат реализуемым на множестве S₀, если для любых начальных условий  , вырабатываемых функцией Init, существует единственное решение задачи, удовлетворяющее заданным с помощью функции Inv свойствам. Или иначе, функция Init вырабатывает только допустимые в указанном смысле начальные условия.
Множество начальных условий S₀ можно разбить на два непересекающихся подмножества S_0d и S_0c, называемых подобластями длительных (непрерывных) и вырожденных длительных (дискретных) состояний, таких что и . Существование непустого подмножества может приводить к тому, что в последовательности может найтись номер N, начиная с которого i >N все окажутся нулевыми, и автомат начнет демонстрировать чисто дискретное поведение. Для этого достаточно, чтобы в множестве существовало инвариантное подмножество функции Init и одна из точек этого подмножества стала бы начальной в некоторый момент гибридного времени.
Примитивный гибридный автомат может, тем самым, демонстрировать, как нетривиальное непрерывное поведение, так и нетривиальное дискретное, сводящееся не только к назначению новых начальных условий, но и поиску начальных условий, приводящих к новому длительному поведению. Несмотря на это замечание, мы все равно непрерывное поведение автомата, связанное с решением дифференциальных уравнений, будем называть длительным. Во многих языках моделирования, для описания длительных и мгновенных действий применяются различные синтаксические конструкции: длительные поведения описываются функциональными зависимостями и различными уравнениями, а дискретные – алгоритмически.

5.2. Вырожденное поведение

Одной из «крайних» форм существования примитивного гибридного автомата, как уже отмечалось, является его «вырождение» в классическую динамическую систему, когда первое же выбранное начальное условие приводит к решению, на котором всегда истинен инвариант и всегда ложен предикат, приводящий к смене начальных условий.

Для дифференциального уравнения:
; ; ; ;
при выборе любого написанный предикат никогда не будет истинным, и построенный таким образом гибридный автомат будет вести себя как классическая динамическая система.
Второй вариант «крайнего» поведения реализуется, если на всем множестве начальных условий одновременно истинен инвариант и предикат, приводящий к смене начальных условий. В этом случае примитивный гибридный автомат можно интерпретировать как конечный, реализующий заданное дискретное отображение. Обычно такое поведение считают недопустимым, так непрерывное время в таком автомате перестает двигаться, то есть все длительные промежутки превращаются в интервалы нулевой длительности (в гибридном времени, мы наблюдаем бесконечное течение дискретного времени и все процессы становятся мгновенными).
Так, для приведенного выше дифференциального уравнения при выборе начального условия в виде написанный предикат становится истинным уже на начальном условии, и если положить , то построенный таким образом гибридный автомат будет вести себя тождественное дискретное отображение.
Однако возможен и третий случай, когда гибридная система сначала демонстрирует чередование длительных и мгновенных действий, но начиная с некоторого момента начинает вести себя как чисто дискретная система.

5.3. Гибридный автомат с несколькими длительными состояниями

В большинстве языков моделирования гибридный автомат вводится как автомат с несколькими состояниями (рис. 16).

Рис. 16. Гибридный автомат с несколькими длительными состояниями

Граф, соответствующий гибридной системе с несколькими длительными состояниями, с приписанными узлам системами дифференциальных уравнений и дугами, помеченными предикатами функциями инициализации, называется картой поведения или гибридным автоматом.

Так для электрической цепи с переменным сопротивлением, рассмотренной в разд. 2.1 в карту поведения (рис.17) включим два состояния, которым припишем системы уравнений «Система_уравнений_1» и «Система_уравнений_2» с одинаковым набором уравнений. В раздел “Внутренние переменные” включим переменное сопротивление, которое обозначим через R. Сопротивление R при переходе цепи из состояния из одного состояния в другое, будем приравнивать к сопротивлению R1, значение которого будет измениться во время переходов.

Рис. 17. Карта поведения электрической цепи с переменным сопротивлением

Условия срабатывания переходов (интервалы времени, через которые происходит переключение значений сопротивления R1) зададим одинаковыми, например 20 единиц времени.

Рассмотрим модель математического маятника с односторонней пружиной.
Данная модель является примером модели изолированной гибридной системы с гибридным поведением второго, более сложного типа – изменяющиеся правые части уравнений при неизменных наборе уравнений и наборе переменных. Предположим, что маятник снабжен пружиной, которая работает только в области отрицательных значений угла. Тогда уравнения движения маятника примут вид



Уравнения, содержащие выражения вида , называются условными или гибридными. Такое уравнение неявно определяет два дискретных события, связанных с переключением ветвей условного выражения. Любые гибридные уравнения можно представить в виде гибридной карты состояния (но не наоборот). Например, гибридную систему уравнений можно представить картой состояний, изображенной на Рис. 18.



Рис. 18. Карта состояния математической модели маятника с односторонней пружиной
Обычно пользователю бывает проще и естественнее написать систему уравнений, нежели рисовать эквивалентную карту состояний. Поэтому пакеты гибридного моделирования обычно включают условные уравнения в качестве допустимых конструкций входного языка и определяют моменты соответствующих дискретных событий (точки переключения) автоматически.
Зависимости показаны на рис. 19а. Траектория движения показана на рис. 19б. Траектория несимметрична, поскольку в начальном положении пружина сжата и потенциальная энергия маятника больше. Фазовая траектория в координатах показана на Рис. 19в.