Понятия предиката. Постаянные предметы и переменные высказывании

Определение 12.3: Множеством истинности предиката заданного на множествах называется совокупность всех упорядоченных наборов где , при которых .
Множество истинности предиката мы будем обозначать .
Пусть – одноместный предикат, заданный на множестве . Ясно, что . Однако, если данный предикат задан на множестве натуральных чисел, то его множество истинности .
Пусть – двухместный предикат, заданный на множестве действительных чисел . Тогда множеством истинности его являются множества всех таких пар действительных чисел, которые являются координатами точек плоскости, лежащих на окружности с центром в начале координат и радиусом 2.
Непосредственно из определения 2 следует справедливость следующего утверждения.
Пусть -местный предикат, заданный на множествах
Тогда справедливы следующие утверждения :
1. является тождественно истинным тогда и только тогда, когда
2. является тождественно ложным тогда и только тогда, когда ;
3. является выполнимым тогда и только тогда, когда ;
Определение 12.4: Два -местных предиката и заданных на одних и тех же множествах называются равносильными, если для любых наборов переменных где , они принимают одинаковые логические значения.
Непосредственно из данного определения следует, что предикаты
и равносильны тогда и только тогда, когда их множества истинности совпадают, то есть
Равносильности предикатов и будем обозначать как: .
Определение 12.5: Предикат  Определённый на множествах  называется следствием предиката определённом над теми же множествами, если он принимает истинные значения на всех тех наборах значений переменных, на которых истинно значение предиката 
Другими словами можно сказать, что предикат  является следствием предиката Тогда и только тогда, когда  .
Пусть (X делится на 2) (X делится на 4) два одноместных предиката заданных на множестве натуральных чисел. Ясно, что предикат Является следствием предиката  .
Так как любой предикат при фиксированных значениях переменных превращается в высказывание, то над ними можно проделывать те же логические операции, что и над высказываниями.