Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой

Взаимное расположение
прямых на плоскости.

Под углом между прямыми на плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми.

Если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , то

• 
  угол между ними вычисляется с помощью формулы
  

(8)

• 
  условие параллельности прямых и имеет вид
  

(9)

• 
  условие перпендикулярности прямых и имеет вид
  

(10)
Если прямые и заданы общими уравнениями и , то

• 
  угол между ними вычисляется с помощью формулы
  

, (11)
где и — нормальные векторы прямых и .

• 
  условие параллельности прямых и имеет вид
  

(12)
Это условие вытекает из того, что если прямые и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны, а это значит, что их соответствующие координаты пропорциональны.

• 
  условие перпендикулярности прямых и имеет вид
  

(13)
Это условие вытекает из того, что если прямые и перпендикулярны, то и их нормальные векторы и тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Пример4.4. Вычислите угол между прямыми
а) и ;
б) и ;
в) и .
а) Воспользуемся формулой (8). Подставляя в неё значения и , находим
.
Ответ: .
б) Подставим значения , , , в формулу (11):
.
Ответ: .
в) Здесь , найдём .

. Тогда .
Так как , то данные прямые перпендикулярны. (По формуле (8) получаем: ).
Ответ: .
Р асстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую и вычисляется по формуле:
(14)
Пример 4.5. Найдите расстояние от точки до прямой .
Подставляя в формулу (14) данные задачи, получим
.
Ответ: лин. ед.