S. V. Kovalevskiy: "Qalban shoir boʻlmagan kishi hech qachon matematik boʻlolmaydi". M. I. Lobachevskiy: "Hamma gapiradigan aniq til matematikadir". R. Dekart: "Kim matematikani bilmasa, haqiqatni bilmaydi. Kim matematikan

3-teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo'lsa , u holda bu funksiyaning egri chiziq bo'yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali

mavjud va

bo'ladi.
oraliqning
,
bo'laklashni olaylik. Bu bo'laklashning bo'luvchi nuqtalari ning dagi mos akslarini deylik . Ravshanki bu nuqtalar egri chiziqning

bo'laklashini hosil qiladi. Bundan bo'ladi. Bu bo'laklashga nisbatan (1) yig'indi ni

tuzamiz.Keyingi tenglikda Ox o'qidagi proyeksiyasi

ga tengdir.
Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz:

Ma'lumki , , . Agar bu nuqtaga akslanuvchi nuqtani deyilsa , unda

bo'ladi. Natijada yig'indi quyidagi ko'rinishga keladi:

Endi, da ( bu holda ham nolga intiladi ) yig'indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o'zgartirib quyidagicha yozamiz:

(4)
Bu tenglikning o'ng tomonidagi ikkinchi qo'shiluvchini baholaymiz



bunda,

funksiya da uzliksiz. U holda Kantor teoremasinig natijasiga ko'ra , olinganda ham shunday topiladiki, oraliqning diametri bo'lgan har qanday P bo'linish uchun

bo'ladi. Unda


Demak,

bo'ladi. Bu munosabatni e'tiborga olib , (4) tenglikda da limitga o'tib quyidagini topamiz :


Demak

Endi (5) sistemada funksiya da uzluksiz bo'lsa , funksiya esa da hosilaga ega va bu hosila shu oraliqda uzluksiz bo'lsin.
4-teorema. Agar funksiya da uzliksiz bo'lsa , u holda bu funksiyaning egri chiziq bo'yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integrali

mavjud va

bo'ladi.
Yuqoridagi teoremalar , bir tomondan , uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integrali mmavjudligini aniqlab bersa , ikkinchi tomondan, bu integral aniq integral orqali ifodalanishini ko'rsatadi.
egri chiziq (5) sistema bilan berilgan bo'lib, va funksiyalar da va hosilalarga ega va bu hosilalar uzliksiz bo'lsin.


bo'ladi.