S. V. Kovalevskiy: "Qalban shoir boʻlmagan kishi hech qachon matematik boʻlolmaydi". M. I. Lobachevskiy: "Hamma gapiradigan aniq til matematikadir". R. Dekart: "Kim matematikani bilmasa, haqiqatni bilmaydi. Kim matematikan

2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari.
Ikkinchi tur egri chiziqli integralllar qator xossalarga ega . Quyida integralning asosiy xossalarini keltiramiz.
1⁰ Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar intergallash egri chizig'ining yo'nalishiga bog'liq bo'ladi.
,

2⁰ Agar egri chiziq OX o'qiga yoki OY o'qiga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq kesmasidan iborat bo'lsa , u holda
yoki
3⁰ Agar funksiya da intervallanuvchi bo'lib, + = bo'lsa

bo'ladi.
4⁰ Agar funksiya da intervallanuvchi bo'lsa, u holda

bo'ladi. Bunda k-const.
5⁰ Agar va funksiyalar da intervallanuvchi bo'lsa, u holda


1-misol. Ushbu

integralni hisoblang. Bunda, egri chiziq (0,0) nuqtadan chiqib (0,0) , (1,0), (1,1) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq . Integralning 3-xossasiga ko'ra


bo'ladi. bunda (0,0) va (1,0) nuqtalarni esa (1,0) va (1,1) nuqtalarni birlashtiruvchi to'g'ri chiziq kesmalaridan iborat.
2-xossasiga ko'ra esa da y=0 va kesma OY o'qiga perpendikulyar bo'lganligi sababli

bo'ladi.
kesmada x=1 va y esa OX ga perpendikulyar bo'lganligi sababli

bo'ladi. Demak,
.
2-misol. Ushbu

integralni hisoblang . k bunda O =(0,0) , A=(2,1) nuqtalarni birlashtiruvchi to'g'ri chiziq kesmasi hamda parabola yoyidan tashkil topgan egri chiziq.

Integral xossasiga ko'ra :

kesmada x=2y bo'lib , (7) formulaga ko'ra

bo'ladi.
yoyida esa x= bo'lib, yana (7) formuladan topamiz:

bo'ladi. Demak,

3-misol. Ushbu

integralni hisoblang . Bunda k-uchlari A=(1,0), B=(0,1), C=(-1,0), D=(0,-1) nuqtalarda bo'lgan kvadratning konturidan iborat.

Integralning xossasidan foydalanib topamiz:



Endi bu tenglikning o'ng tomonidagi integrallarni alohida alohida hisoblaymiz.
da x+y=1, bo'lib , dx+dy=0 bo'ladi. Shuning uchun yuqoridagi tenglikning o'ng tomondagi birinchi integral 0 ga teng:

da y-x=1, bo'lib, dx=dy hamda , bo'ladi. B dan C nuqtagacha BC bo'yicha kelishda x o'zgaruvchi 0 dan -1 gacha o'zgaradi. Shuni e'tiborga olib topamiz:

CD da x+y=-1 , bo'lib , dx+dy=0 ekanligini e'tiborga olsak,

bo'ladi.
da y-x=-1 bo'lib, dy=dx hamda bo'ladi. D nuqtadan A nuqtaga bo'yicha kelishda x 0 dan 1 gacha o'zgaradi. Shuning uchun

bo'ladi. Demak,