S. V. Kovalevskiy: "Qalban shoir boʻlmagan kishi hech qachon matematik boʻlolmaydi". M. I. Lobachevskiy: "Hamma gapiradigan aniq til matematikadir". R. Dekart: "Kim matematikani bilmasa, haqiqatni bilmaydi. Kim matematikan

3-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblash va shunga doir misollar.
Yuqorida keltirilgan teoremalardan ko'rinadiki , egri chiziq

sistema bilan berilganda ikkinchi tur egri chiziqli integrallar Riman integrallariga keltirilib , quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

(6)

. (7)
Xususan , egri chiziq

tenglama bilan aniqlangan bo'lib , funksiya da uzliksiz , xosilaga ega bo'lsa , u holda
(8)
bo'ladi.
Agar egri chiziq

tenglama bilan aniqlangan bo'lib, funksiya da uzliksiz va xosilaga ega bo'lsa, u holda
,

(9).
bo'ladi.
4-misol. Ushbu

integralini hisoblang, bunda ­ markazi koordinata boshida , radiusi r bo'lgan aylananing yuqori yarim tekislikdagi qismi; yo'nalishi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Ravshanki aylananing parametrik tenglamasi

bo'ladi. Bunda t parameter 0 dan gacha o'zgarganda nuqta A dan B ga qarab yarim aylanani chizadi va quyidagi chizma xosil bo'ladi:

Unda (6) formulaga ko'ra


bo'ladi. Endi aniq integralni hisoblaymiz:



Demak,
.
5-misol. Ushbu

integralni hisoblang . Bunda , egri chiziq parabolaning va nuqtalari orasidagi qismi , Yo'nalishi esa nuqtadan nuqtaga qarab olingan.

Ravshanki , , funksiyalar qaralayotgan da uzluksiz . Yuqoridagi (8) formulaga ko'ra

bo'ladi. Keyingi integral esa

ga teng . Demak,
.
6-misol. Ushbu

integralini hisoblang, bunda egri chiziq

ellipsning yuqori yarim tekislikdagi qismidan iborat.
Bu ellipsning parametric tenglamasini yozamiz:

nuqtaga parametrning t=0 qiymati nuqtaga esa qiymati mos kelib , t parametr 0 dan gacha o'zgarganda nuqta A dan B ga qarab ellipsning yuqori yarim tekislikdagi qismini chizadi.

,
funksiyalar esa da uzliksiz. Berilgan integralni (7) formuladan foydalanib hisoblaymiz:



Demak,
.