Samarqand davlat arxitektura-qurilish instituti abdurazakov jamshid norbutayevich doiraviy silindrik elastik qobiq va sterjenlarning nochiziqli simmetrik tebranis

Bobning birinchi paragrafi silindrik qatlamning nochiziqli harakat tenglamasini chiziqlilashtirishga bag‘ishlangan. Yuqoridagi (4) tenglamada (5)-(7) munosabatlar hisobga olinib bir qancha matematik almashtirishlardan so‘ng quyidagi ikkinchi tartibli nochiziqli tenglama keltirib chqarilgan:
(11)
bu yerda ;
.
Yuqoridagi (8) tenglamaning yechimini hal etishda kichik parametrlar usuli qo‘llanilgan. Ya’ni, buralma ko‘chish quyidagi yoyilma ko‘rinishda tasvirlab olingan
,
hamda, hisoblashlarda aniqlik uchun yoyilmaning birinchi ikkita hadi bilan chegaralanilgan. Natijada, doiraviy silindrik elastik qobiqning (qatlamning) buralma tebranishlari haqidagi masala ikkinchi tartibli differensial bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasiga keltirilgan
, (12)
(13)
bu yerda ; . (14)
Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida doiraviy silindrik elastik qatlamning nochiziqli buralma tebranishlar tenglamalari keltirib chiqarilgan. Olingan (12) va (13) tenglamalarning yechimlarini, tashqi ta’sir funksiyalari (2) ko‘rinishda tasvirlanuvchi funksiyalar sinfidan izlanadi. Tashqi ta’sir funksiyalarining (2) ko‘rinishida tasvirlanishidan kelib chiqqan holda qaralayotgan silindrik qobiqning buralma ko‘chishi ham va mos ravishda uning tarkibiy va qismlari ham shu (2) ko‘rinishida izlanadi. Ushbu almashtirishlar qo‘llanilgandan keyin (12) tenglama
(15)
kabi yoziladi, bu yerda .
Ana shu (15) tenglamaning, va bo‘lganda yechimlar chegaralanganligini hisobga oluvchi, umumiy yechimi quyidagiga teng
, (16)
bu yerda lar Besselning modifitsirlangan funksiyalari; - integrallash o‘zgarmaslari. Bessel funksiyalarining darajali qatorlarga standart yoyilmalaridan foydalanib (16) ni quyidagicha yozamiz
(17)
bu yerda - Gamma funksiyaning logarifmik hosilasi.
Asosiy izlanuvchi kattaliklar sifatida, professor X.Xudoynazarov bo‘yicha, silindrik qobiqning radiusi
(18)
formula bilan aniqlanuvchi oraliq sirti nuqtalaridagi ko‘chish va kuchlanishlarni qabul qilamiz. Shuning uchun (18) formulaga mos ravishda (17) tenglamada va bo‘lgan hol uchun quyidagi yangi funksiyalarni kiritamiz
(19)
va (19) ifodalarni (17) ga qo‘yamiz, u holda
(20)
Kiritilgan funksiya ko‘chish birligiga, funksiya esa defomatsiya birligiga ega, ya’ni funksiya ko‘chishni, funksiya esa deformatsiyani ifodalaydi.
Shunday qilib (15) tenglamaning yechimi buralma ko‘chishning , bosh
qismlari orqali ifodalandi. Ana shu bosh qismlar orqali (13) tenglamaning bir jins-limas hadi ham ifodalanishi zarur, ya’ni

(21)
Oxirgi formula integral almashtirish qollanilgan (13) tenglamaga qoyilib, hosil bo‘lgan tenglamaning yechimi ham topilgan va (11) nochiziqli tenglamaning yechimi (21) yechimning (20) yechim bilan majmuasidan iborat. Ana shu yechimni (8) va (9) chegaraviy shartlarga qo‘yib doiraviy silindrik qatlamning fizik nochiziqli tebranishlari tenglamalari keltirib chiqarilgan
(22)
bu yerda
(23) (24)
(25)
Olingan (22) tenglamalar sistemasi doiraviy silindrik elastik qatlamning nochiziqli buralma tebranishlari umumiy tenglamalari sistemasidir.
Ikkinchi bobning uchunchi paragrafida bundan oldingi bo‘limda keltirilgan doiraviy silindrik elastik qatlamning buralma tebranishlari fizik nochiziqli tenglamalarining xususiy va limitik hollari sifatida silindrik qobiq va sterjenlarning turli xil chiziqli va fizik nochiziqli tenglamalari keltirib chiqarilgan. Xususan n=1 yaqinlashish bilan doiraviy silindrik elastik qatlamning buralma tebranishlari nochiziqli taqribiy umumlashgan yangi tenglamasi keltirib chiqarilgan:

; (26)
Yuqoridagi (26) tenglamalarda xususiy holda bo‘lsa professor X.Xudoynazarov tomonidan aniqlashtirilgan doiraviy silindrik elastik qobiqning buralma tebranishlari chiziqli tenglamalari aynan kelib chiqadi.
Agar bo‘lsa qaralayotgan qatlam radiusi bo‘lgan doiraviy sterjenga aylanadi. Chunki, (10) sistemaning birinchi tenglamasi ayniyatga aylanadi. Ikkinchi tenglamasi bazi bir shakil almashtirishlardan so‘ng quyidagi ko‘rinishni oladi:
. (27)
Ushbu (27) tenglamaning xususiy holi G. Kauderer tenglamasidir. Shuningdek bo‘lsa (27) dan sterjenning buralma tebranishlari chiziqli tenglamasi ham kelib chiqadi.
Agar silindrik qobiq devorining qalinligi o‘rta sirt radiusining o‘ndan biridan kichik bo‘lsa, hamda deb hisoblash mumkin. U holda (26) tenglamalardan yupqa devorli silindrik qobiqning nochiziqli buralma tebranish tenglamalari quyidagi ko‘rinishda hisobga olinadi:

. (28)