Samarqand davlat

VII BOB. MATEMATIK MODELLARNI TUZISHNING TAJRIBAVIY- STATISTIK

USULLARI

1. Asosiy tushuncha va ta‟riflar

Umuman olganda, kimyoviy-texnologik jarayonlarni (KTJ) modellashtirishda modellarning adekvatligini tekshirish uchun ularni borishining fizik-kimyoviy qonunlarini va eksperimental ma‟lumotlarni bilish kerak.

Biroq kimyoviy-texnologik jarayonlarning mexanizmi va fizik- kimyoviy mohiyatini har doim ham batafsil o„rganish mumkin emas. Shu bilan birga, bunday jarayonlarni maqbullashtirish va boshqarish muammosini hal qilish kerak.
Bunday hollarda empirik modellar eksperimental statistik usullar yordamida ishlab chiqiladi: ob‟ektda yuz beradigan jarayonlarning noma‟lum mexanizmi bilan tizim javobining kirish parametrlarining o„zgarishiga bog„liqligi o„rganiladi. Fizik-kimyoviy modellardan farqli o„laroq, ular real jarayonlar oqimining qonuniyatlarini hisobga olmaydi va ularni qurish eksperimental ma‟lumotlarning rasmiylashtirilgan tavsifiga asoslanadi.
Bu holda ob‟ektning matematik tavsifi ob‟ektni statistik tekshirish natijasida olingan empirik bog„liqliklar tizimi bo„ladi. Ushbu modellarga statistik deyiladi va ular ob‟ektning kirish va chiqish parametrlari o„rtasidagi korrelyatsiya yoki regressiya munosabatlari ko„rinishiga ega bo„ladi.
Tabiiyki, statistik modellar tenglamalarining strukturasida modellashtirish ob‟ektining fizik xususiyatlari aks ettirilmaydi.
Statistik modelni tuzish uchun asosiy va zarur axborot manbai eksperiment bo„lib, eksperimental ma‟lumotlarni qayta ishlash ehtimollar nazariyasi va matematik statistika usullari bilan amalga oshiriladi. Bu holda, texnologik ob‟ekt "qora quti" (7.1-rasm) shaklida beriladi.
7.1-rasm. Ob‟ektning sxematik tasviri Ob‟ektning matematik modeli javob funksiyasi bo„ladi:
𝑦 = 𝜑(𝑥_1,𝑥₂, . . . . 𝑥_𝑛, 𝑏₁, . . . . 𝑏_𝑛), (7.1)
bunda 𝑦 – jarayonning chiqish parametri; 𝑥₁, . . . . . . , 𝑥_𝑛 – bog„liq bo„lmagan o„zgaruvchilar, ular tajribani qo„yilishida o„zgartiriladi;
𝑏₁, . . . . . . , 𝑏_𝑛 – empirik modelning koeffitsiyentlari.
(7.1) funksional bog„liqlikni aniq ko„rinishi va koeffitsiyentlar qiymatlari tajriba natijalaridan aniqlanadi.
Keyinchalik quyidagicha ataymiz:

• 
  omillar deb – bog„liq bo„lmagan 𝑥₁, . . . . . . , 𝑥_𝑛 o„zgaruvchilar;
  
• 
  omilli fazo deb – koordinatalari 𝑥₁, . . . . . . , 𝑥_𝑛 bo„lgan fazo;
  
• 
  javob sirti deb – omilli fazoda javob funksiyasining geometrik tasviri.
  

Javob sirtining tekshirilishida o„rganiladigan hodisaning mexanizmi to„liq aniq bo„lmagan holatda javob funksiyasining analitik ifodasi noaniq bo„ladi. Shuning uchun matematik model polinom ko„rinishida beriladi:
𝑁 𝑁 𝑁

i
𝑦 = 𝛽₀ + ∑ 𝛽_i𝑥_i + ∑ 𝛽_ij𝑥_i𝑥_j + ∑ 𝛽_ii · 𝑥²+. . ., (7.2)

i=1
i,j=1 i❜j
i=1

bunda 𝛽_i, 𝛽_ij, 𝛽_jj – mos holda chizikli samaralar, o„zaro ta‟sirlar samaralari va kvadratli samaralarni harakterlovchi nazariy koeffitsiyentlar.
Ular regressiya koeffitsiyentlari, (7.2) tenglama esa regressiya
tenglamasi deyiladi.
Regressiya koeffitsiyentlari:

∂𝜑

1
𝛽₁ = _∂𝑥
∂𝜑

2
; 𝛽₂ = _∂𝑥
; . . . . ;

∂²𝜑

1
^𝛽1,2 ⁼ _∂𝑥
∂𝑥₂
, . . . ;

∂²𝜑 ∂²𝜑
𝛽₁₁ = _{2∂ 𝑥2} , 𝛽₂₂ = _{2∂ 𝑥2} . .. .
1 2
Murakkab ob‟ektda tajriba natijalari odatda tasodifiy kattaliklardir.
Bu o„lchashdagi xatodan, ba‟zi hollarda tasoddifiy ta‟sirlardan (“shovqidan”) bo„lishi mumkin. Chiqish o„lchamlarining qiymatlari, qoidaga ko„ra, bir-biridan farq qiladi. Shuning uchun tajriba natijalarining qayta ishlanishidan faqat tanlangan regressiya koeffitsiyentlari deb ataladigan 𝑏₀, 𝑏_i, 𝑏_ij, 𝑏_ii , koeffitsiyentlarni
aniqlash mumkin. Ular nazariy regressiya koeffitsiyentlari 𝛽^̅
baholashdir.
Natijada chegaralangan tajribaviy ma‟lumotlar tanlovi bo„yicha olingan yaqmnlashgan regressiya tenglamasidan foydalaniladi:
𝑁 𝑁 𝑁

i
𝑦̂ = 𝑏₀ + ∑ 𝑏_i𝑥_i + ∑ 𝛽_ij𝑥_i𝑥_j + ∑ 𝛽_ii𝑥² +. . . ,
(7.3)

i=1
i,j=1
i=1

bunda 𝑦̂ − 𝑦 uchun tanlangan baholash (chiqish parametrining oldindan aytilgan qiymati); 𝑏₀ – regressiya tenglamasining erkin hadi;
𝑏_i, 𝑏_ij, 𝑏_ii − mos holda chizikli samaralar, o„zaro ta‟sirlar samaralari va
kvadratli samaralarni harakterlovchi regressiya koeffitsiyentlari.
(7.3) regressiya tenglamasi kimyoviy texnologik ob‟ektlarning statistik modellarini tuzish uchun ishlatiladi. Jarayonlarning fizik- kimyoviy xossalarini tadqiq etish no„qtai nazaridan ushbu model hech qanday ma‟lumot bermaydi. Model faqat tajriba o„tkazilgan ob‟ektgagini to„g„ri. Lekin bunday modellar maqbullashtirish masalalarini yechishda keng ishlatiladi.

(7.1) empirik modelning aniq ko„rinishi faol yoki sust tajribalar natijalari bo„yicha aniqlanadi.

2. Ob‟ektlarning sust tajribalar asosidagi statistik modellari

Empirik modellar vaol va sust tajribalar asosida tuziladi. Empirik modellar tajriba ma‟lumotlarini ifodalovchi tenglamalardir.

Ma‟lumki, o„lchanadigan kattaliklar – tasoddifiy kattaliklardir. Shuning uchun ehtimollar nazariyasi qonunlari va tajriba natijalarini matematik statistika qayta ishlashga ko„ra matematik modelni tuzish statistik usullarni qo„llash bilan amalga oshiriladi.
Sust tajribaning mohiyati: tadqiqotchi ma‟lum hajmdagi tajriba natijalarini, ya‟ni 𝑥_i parametrlar (omillar) va 𝑦_i chiqish parametinini qiymatlari yig„adi. Ma‟lumotlarni yig„ish ob‟ektni ishlatishning mo„‟tadil sharoitida amalga oshiriladi. Ma‟lumotlar (tanlanma) sanoat yoki laboratoriya qurilmalaridan olinadi.
7.1-bo„limda empirik modelning umumiy ko„rinishi yaqinlashgan regressiya tenglamasi (7.1) qo„rinishida berilishi mumkin:
𝑦 = 𝜑(𝑥_1,𝑥₂, . . . . 𝑥_𝑛, 𝑏₁, . . . . 𝑏_𝑛), (7.4)
Empirik modelning (7.4) aniq ko„rinishini olish uchun quyidagilarni bajarish kerak:

• 
  (7.4) tenglamada 𝜑 funksiyaning aniq ko„rinishini topish kerak;
  
• 
  regressiya koeffitsiyentlari 𝑏_i qiymatlari aniqlash kerak;
  
• 
  olingan natijalarni statistik tahlilini o„tkazish kerak.
  

Polinomlar ko„rinishidagi statistik matematik modellarni olish uchun korrelyatsion va regression tahlil usullari qo„llaniladi.
Statistik modellarni tuzish bor necha bosqichlardan tashkil topgan:

• 
  model tenglamasi 𝑛 – chi darajali polinom ko„rinishida yoziladi;
  
• 
  ushbu polinomning koeffitsiyentlari hisoblanadi;
  
• 
  omillar o„rtasida chiziqli bog„liqliklarning borligi baholanadi, ya‟ni juftli korrelyatsiya koeffitsiyentlari hisoblanadi;
  
• 
  Styudent me‟zoni (𝑡) bo„yicha polinom koeffitsiyentlarining ahamiyatliliga baholanadi;
  
  • 
    Fisher me‟zoni (F) bo„yicha regressiya tenglamasining aniq jarayonga adekvatligi o„rnatiladi.
    

1. Korrelyatsion va regression tahlil usullari

Korrelyatsion va regression tahlil usullari tajriba natijalari bo„yicha tasoddifiy kattaliklar o„rtasidagi bog„liqliklarni aniqlash va ifodalash uchun keng qo„llaniladi va ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaga asoslangan.