Samarqand davlat

To„liq omilli tajriba

To„liq omilli tajriba (TOT) sxemasiga muvofiq rejalashtirilganda, tadqiqot uchun tanlangan barcha darajalarda omillarning barcha mumkin bo„lgan kombinatsiyasi hisobga olinadi.

Omilli tajribaning mohiyati:

• 
  ma‟lum reja bo„yicha tajriba o„tkailganda barcha omillar bir vaqtning o„zida o„zgartiriladi (varirlanadi);
  
• 
  matematik modelning (javob funksiyasining) ni chiziqli ko„phad (polinom) ko„rinishida berilishi;
  
• 
  olingan ko„phadni matematik statistika usullari bilan tadqiq etish.
  

To„liq omilli tajribada o„tkazilishi zarur bo„lgan tajribalar soni N quyidagi formula bilan aniqlanadi:
𝑁 = 𝑙^𝑛, (7.30)
bunda n – omillar soni; l – omillar o„garadigan (varirlanadigan) darajalar soni.
Omillar darajasi – bu berilgan texnologik parametr bo„yicha tekshiriladigan sohaning chegaralari. Har qaysi omil bo„yicha tajriba sohasini tanlash tajribaviy ma‟lumotlarni atroflicha tahlil etish bilan bog„liq.
Odatda ikki darajada rejalashtirish qo„llaniladi, ya‟ni l = 2, u holda n = 2 bo„lganda tajribalar soni N = 2² = 4 ga teng bo„ladi.
Asosiy (nulinchi) daraja (tajriba rejasining markai) – bu matematik
modelni tuzishda omilning boshlang„ich qiymati, bu ⁽𝑥⁰, … , 𝑥⁰⁾

koordinatali nuqta.
1 ^𝑛

Varirlash oralig„i (intervali) – omilning asosiy darajasiga simmetrik bo„lgan aniqlash sohasining qismi ⁽∆𝑥⁾.
Masalan. Jarayonga ikkita omil – temperatura ⁽𝑥₁⁾ va modda konsentratsiyasi ⁽𝑥₂⁾ ta‟sir etadi. Ma‟lumki, temperatura 100-200⁰C va konsentratsiya 20-30 % oralig„ida o„zgaradi.
Ikki omil uchun ularning o„aro ta‟sirlari hisobga olinmagan holda mos holdagi model quyidagicha ifodalanishi mumkin:
y = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂.
Tajriba sharoitlari:

	𝑥1, ^0𝐶	𝑥2, %
Yuqori sath	200	30
Quyi sath	100	20
Asosiy sath	150	25
O„zgarish oralig„i	50	5

Asosiy sath quyidagicha hisoblanadi:

₀ 1 1
_𝑥 𝑚i𝑛 _{+ 𝑥}𝑚𝑎𝑥
𝑥₁ = ₂ =
_𝑥𝑚i𝑛 _{+ 𝑥}𝑚𝑎𝑥
200 + 100



5
30 + 20
= 150;

_{𝑥0 =} 2 2 ₌
= 25.

² 2 2
O„zgarish oralig„i esa:

∆𝑥_1
𝑥 𝑚𝑎𝑥 _{+ 𝑥}𝑚i𝑛

1 1
= =
2
_𝑥𝑚𝑎𝑥 _{+ 𝑥}𝑚i𝑛
200 + 100



2
30 + 20
= 50;

∆𝑥_2
= 2 2 ₌
2 2
= 5.

Tekislikdagi koordinatada buni quyidagicha tasvirlash mumkin
(7.3-rasm).
7.3-rasm. To„liq omilli 2² tajriba tajribaviy nuqtalarining joylashish sxemasi

Tajriba rejasi bog„liq bo„lmagan o„zgaruvchilar tajribaviy no„qtalarining n-o„lchamli fazoda joylashuvini yeki o„tkazilishi lozim bo„lgan barcha tajribalarning sharoitlarini ko„rsatadi.

To„liq omilli tajribada tajriba faqat tajriba chegarasi sohasida qo„yiladi (A – soha markazi). Ko„pgina hollarda tajriba rejalashtirish matritsasi ko„rinishida beriladi – bu reja (jadval), uning har bir qatori tajriba sharoitini ifodalaydi, matritsaning har qaysi ustun esa turli tajribalarda o„garuvchilarning qiymatlariga mos keladi.
Berilgan misol uchun rejalashtirish matritsasini tuzamiz.

Rejalashtirish matritsasida tajribalar soni N = 2² = 4 ga teng (7.1- jadval).
7.1-jadval

𝑁	𝑥1	𝑥2	𝑌
1	200	30	𝑌1
2	200	20	𝑌2
3	100	30	𝑌3
4	100	20	𝑌4

Ushbu rejalashtirish matritsasi tabiiy masshtabda.
Rejalashtirish matritsasi aniq reja asosida tajriba o„tkazish, har bir tajribada chiqish parametrining qiymatlarini aniqlash maqsadida tuziladi va eksperimental ma‟lumotlar asosida statistik model quriladi.
Birinchi tartibli rejalashtirishda quyidagi ko„rinishdagi model olinadi:
𝑦̂ = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑏_𝑛𝑥_𝑛.

O„zgaruvchilarni kodlashtirish

Hisoblashlarni qulaylashtirish maqsadida tabiiy koordinatadan (tabiiy o„lchov birlikdan) o„lchovsizga o„tiladi. O„tkazish formulasi (yoki kodlashtirish) quyidagi ko„rinishda:
𝑥_i − 𝑥⁰

_{Xi =} i
∆𝑥_i
(7.31)

bunda 𝑥_i − haqiqiy o„zgaruvchining (yuqori yoki quyi sath) qiymati;

i
𝑥⁰ − haqiqiy o„zgaruvchining asosiy sathi; ∆𝑥_i – haqiqiy o„zgaruvchining o„zgarish chegarasi; X_i − i − chi omilning kodlashgan qiymati (yuqori va quyi sathlarda).
Temperatura uchun haqiqiy o„zgaruvchidan kodlashtirilganiga o„tamiz:
_{𝑥𝑦𝑢 =} 200 − 150 _{= 1;}

¹ 50
_{𝑥𝑞𝑢 =} 100 − 15 _{= −1.}
¹ 50
Konsentratsiya uchun:
_{𝑥𝑦𝑢 =} 30 − 25 _{= 1;}

2 ₅
𝑥^𝑞𝑢 = 20 − 25 = −1.

2 ₅

Haqiqatda yuqori sathdagi omilning qiymatini +1 (200, 30),
quyisini esa -1 (100,20) deb belgiladik.
Rejalashtirish matritsasini kodlashtirilgan birliklarda ifodalaymiz.

𝑁	𝑥0	𝑥1	𝑥2
1	+1	+1	+1
2	+1	+1	−1
3	+1	−1	+1
4	+1	−1	−1

yoki

𝑁	𝑥0	𝑥1	𝑥2
1	+	+	+
2	+	+	−
3	+	−	+
4	+	−	−

Ushbu rejalashtirish matritsasi o„lchamsiz masshtabda.
𝑥₀ – soxta o„zgaruvchi (+1), u polinomning ozod hadini hisoblash uchun kerak.
Tajriba no„qtalarining omilli fazoda joylashuvi quyidagi ko„rinishga ega:

Rejalashtirish matritsasining xossalari

O„lchovsiz birlikdagi rejalashtirish matritsasi quyidagi maqbul xossalarni namoyon qiladi:

• 
  ortogrnallik: matritsa istalgan ikki ustunining skolyar ko„paytmasi nulga teng:
  

𝑁
^{∑ 𝑥}𝑢i^𝑥ji
i=1
= 0; 𝑢 G j; 𝑢, i =, … , 𝑛; (7.32)

• 
  simmetriklik: birinchidan tashqari matritsa barcha ustunlari elementlarining yig„indisi nulga teng:
  

𝑁
∑ 𝑥_i𝑢 = 0, 𝑢 = 1, … , 𝑛; (7.33)
i=1

• 
  normalashtirish: har qaysi ustun elementlari kvadratlarining yig„indisi tajribalar soniga teng:
  

𝑁

∑ 𝑥

2i𝑢
= 𝑁, 𝑢 = 1, … , 𝑛; (7.34)

i=1

• 
  rotatabellik xossasi: rejalash matritsasidagi barcha nuqtalar
  

shunday tanlanadiki, unda chiqish parametri qiymatlarini bashorat qilish aniqligi tajriba markazidan teng masofalarda bir xil bo„ladi va yo„nalishga bog„liq bo„lmaydi.
Yuqorida sanab o„tilgan barcha xossalarga, xususan ortogonallik va rotativlik asosida regressiya koeffitsiyentlarini hisoblash juda soddalashtiriladi.

Regressiya koeffitsiyentlarini hisoblash

Reja (rejalashtirish matritsasi) tuzilgandan so„ng tajribalar o„tkaziladi (takrorlovchi tajribalar) va natijalar asosida regressiya tenglamasidagi koeffitsiyentlar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
𝑁
1
𝑏₀ = _𝑁 ∑ 𝑥_0i · 𝑦_i;
i=1
𝑁

1
𝑏_i = _𝑁 ∑ 𝑥_i𝑢 · 𝑦_i;
i=1
𝑁
(7.35)

1
𝑏_ij = _𝑁 ∑ 𝑥_i𝑢 · 𝑥_ij𝑦_i.
i=1
Keltirilgan (7.35) formulalar rejalashtirish matritsalari xossalari
(7.32-7.34) hisobga olingan holda qisqa kvadratlar usli asosida olingan (7.14, 7.15 ga qarang).

Misol. 7.2-jadvalda keltirilgan tajribaviy ma‟lumotlar asosida regressiya koeffitsiyentlarini hisoblang.
7.2-jadval

𝑁	𝑥0	𝑥1	𝑥2	𝑥1𝑥2	𝑌
1	+1	1	1	1	68,2
2	+1	1	−1	−1	62,5
3	+1	−1	1	−1	56,8
4	+1	−1	−1	1	50,7

𝑏₀ =

𝑏₁ =

𝑏₂ =

68,2 + 62,5 + 56,8 + 50,7
= 59,6;
4
68,2 + 62,5 − 56,8 − 50,7
= 5,8;
4
68,2 − 62,5 + 56,8 − 50,7
= 2,95;
4
68,2 − 62,5 − 56,8 + 50,7

𝑏₁₂ =
= −0,1.

4

Olingan koeffitsiyentlarni hisobga olib, regressiya tenglamasini
yozamiz:
𝑦̂ = 59,6 + 5,8𝑥₁ + 2,95𝑥₂ − 0,1𝑥₁𝑥₂.
Regressiya koeffitsiyentlari hisoblangandan keyin regressiya tenglamasining statistik tahliliga kirishiladi.

2. Regressiya tenglamasining statistik tahlili

Statistik (regression) tahlil quyidagi bosqichlardan tashkil topgan:

1. 
   takrorlanish dispersiyasini baholash:
   

1. 
   parallel tajribalar natijalari bo„yicha chiqish parametrining o„rtacha qiymati aniqlanadi:
   

𝑁 = 𝑙^𝑛; (7.36)

∑^𝑚
𝑦i𝑢

𝑦_i
= 𝑢=1
𝑚
i = 1, . . . . . , 𝑁, (7.37)

2. 
   Tanlangan dispersiya hisoblanadi:
   

^∑𝑚 (𝑦_i𝑚 − 𝑦̅_i)²

_{𝑆2 =} i=1
(7.38)

ⁱ 𝑚 − 1

3. 
   Tanlangan dispersiyaning yig„indisi hisoblanadi
   

𝑁

i
∑ 𝑆²,

4. 
   Nisbat topiladi:
   

_𝑆2
i=1

𝐺 =
i

^∑ 𝑆²
. (7.39)

Dispersiyaning bir hilligiga Koxren me‟oni (G) bo„yicha tekshiriladi, agar G_jad(q,f₁,f₂) bo„lsa, u holda dispersiya bir hilli. Agar dispersiya bir xilli bo„lmasa, u holda parallel tajribalar soni oshiriladi va qaytadan dispersiya bir xillikka tekshiriladi.

5. 
   Takrorlanish dispersiyasi hisoblanadi:
   

^∑ 𝑆²

𝑆 =

2𝑡𝑎𝑘
ⁱ . (7.40)

𝑁

2. 
   Regressiya koeffitsiyentlarini ahamiyatliligini baholash Styudent
   

me‟zoni bo„yicha amalga oshiriladi:
|𝑏_i^|

𝑡_𝑏i =
𝑆_𝑏i
, (7.41)

bunda ^|𝑏_i^| – regressiya koeffitsiyentining absolyut qiymati; 𝑆_𝑏i − i –
chi koeffitsiyentning o„rtacha kvadratik chetlanishi:
_𝑆2

_{𝑆2 =} 𝑡𝑎𝑘
(7.42)

𝑏_{i 𝑁}
Agar 𝑡_𝑏i > 𝑡_j𝑎𝑑(𝑞, ƒ), ƒ = 𝑁(𝑚 − 1) bo„lsa, u holda koeffitsiyent ahamiyatli. Agar shart bajarilmasa, u holda koeffitsiyent ahamiyatsiz va nulga aylantirilishi mumkin.
O„z-o„zidan ushbu koeffitsiyent oldida turgan omil berilgan jarayonga ahamiyatsiz ta‟sir etadi.

3. 
   Modelning Fisher me‟zoni (F) bo„yicha adekvatlikka tekshirilishi bajariladi:
   

_𝑆2

𝐹 =
𝑞𝑜𝑙



2

𝑆
𝑡𝑎𝑘
_∑𝑁

(𝑦̅² − 𝑦̂ )²
(7.42)

_{𝑆2 =} i=1 i ⁱ _,

𝑞𝑜𝑙
bunda l = n + 1.
𝑁 − 𝑙

Agar F_jad(q,f₁,f₂) bo„lsa, u holda chiziqli regressiya tenglamasi jarayonni adekvat ifodalaydi.

Erkinlik darajasi soni: f₁ = N – n – 1;