Samarqand davlat

N = 2ⁿ +2·n + n₀, agar 𝑛 ≤ 5 bo„lsa; (7.45)
N = 2^n-1 +2·n + n₀, agar 𝑛 > 5 bo„lsa. (7.45)
𝑛 = 2 uchun kompozitsion rejani tuamiz (7.4-jadval). Tajribalar soni N = 2² +2·2 + 1 = 9.
7.4-jadval

N	𝑥0	𝑥1	𝑥2	𝑥2 1	𝑥2 1
1	+	+	+	+	+
2	+	-	+	+	+
3	+	+	-	+	+
4	+	-	-	+	+
5	+	+α	0	𝛼2	0
6	+	-α	0	𝛼2	0
7	+	0	+α	0	𝛼2
8	+	0	-α	0	𝛼2
9	+	0	0	0	0

Bu matritsa ortogonal emas, chunki

ij
∑ 𝑥_0j 𝑥² G 0;

ij
∑ 𝑥² 𝑥_𝑢j G 0;
Kompozitli rejalarning ortogonalligi “yulduzli yelka” 𝛼 qiymatini tanlash bilan erishiladi.
Ortogonal rejalar uchun (n⁰ = 1) 𝛼 ning ba‟zi qiymatlari quyidagi jadvalda berilgan.

n	2(2^2)	3(2^3)	4(2^4)	5(2^5)
α	1,0	1,215	1,414	1,547

Markaziy kompozitli rejalashtirishda regressiya tenglamasi umumiy holda quyidagi ko„rinishda bo„ladi (masalan, ikki omilli uchun):
𝑦̂ = 𝑏^* + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₁₂𝑥₁𝑥₂ + 𝑏₁₁𝑥^* + 𝑏₂₂𝑥^*. (7.47)
0 1 2
𝑥^* va 𝑥^* kattaliklari rejalashtirish matritsasini ortogonal holatga
1 2
keltirish uchun qo„shilgan, 𝑏_i koeffitsiyentlari bir-biriga bog„liq
bo„lmagan holda aniqlanadi:
𝑁
𝑥^* = 𝑥^* − 1 ∑ 𝑥^* , (7.48)

ji ji
_𝑁 ji
j=1

bunda j – tajriba nomeri; i – omil nomeri.
Oddiy shaklda regressiya tenglamasini olish uchun:
𝑦̂ = 𝑏^* + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₁₂𝑥₁𝑥₂ + 𝑏₁₁𝑥² + 𝑏₂₂𝑥² (7.49)
0 1 2
kattaliklar topiladi:
𝑁

𝑏 + 𝑏^* − 𝑏¹¹

∑ 𝑥^2
𝑏22
−

∑ 𝑥² (7.50)

⁰ 0 _𝑁
j1 _𝑁 j2
j=1

𝑛 = 2, 𝖺 = 1 uchun ortogonal markaziy kompozitli rejalashtirish matritsasi keltirilgan (7.5-jadval).
7.5 –jadval

N		𝑥1		𝑥2		𝑥1𝑥2		𝑥* 1		𝑥* 2		y
1		+1		+1		+1		0,33		0,33
2		-1		+1		-1		0,33		0,33
3		+1		-1		-1		0,33		0,33
4		-1		-1		+1		0,33		0,33
	5		+1		0		0		0,33		-0,67
	6		-1		0		0		0,33		-0,67
	7		0		+1		0		-0,67		0,33
	8		0		-1		0		-0,67		0,33
	9		0		0		0		-0,67		-0,67

𝑥^* va 𝑥^* larning qiymatlari (7.47) formula bo„yicha hisoblanadi.
1 2
Masalan:
𝑥^* = (−1)² − 6 = 1 − 0,67 = 0,33;

11 ₉
𝑥^* = 1 − 6 = 0,33;

51 ₉

52
𝑥^* = 0 − 0,67 = −0,67.
Omillar qiymatlarini haqiqiy birliklarga o„tkaish uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

i
𝑥 _i − 𝑥⁰
X_i = ;
∆𝑥_i

i
𝑥_i = X_i · ∆𝑥_i + 𝑥⁰.
Matritsa ortogonal (7.5-jadval), ya‟ni:
∑ 𝑥_0j 𝑥² = 0; ∑ 𝑥² 𝑥² = 0,
ij ij 𝑢j
lekin rotatabel emas. Bunda j – tajriba nomeri.
Ortogonal markaziy kompozitli rejalashtirishda regressiya koeffitsiyentlari quyidagi formular bo„yicha hisoblanadi:
𝑁
𝑏^* = 1 ∑ 𝑦 ;

0 _𝑁
j

∑
j=1

𝑏^* =
𝑁 j=1
^𝑥ij^𝑦ƒ

;

i _∑𝑁
(𝑥_ij)2

* i𝑢
j=1

𝑏 =

∑
𝑁 j=1
∑𝑁
^𝑥ij^𝑥𝑢j^𝑦j (𝑥_ij)2
; (7.51)

j=1
^∑𝑁 𝑥^* 𝑦_{j
𝑏 =} j=1 ij _.

ij _∑𝑁
(𝑥^* )

i=1 ij
Regression tenglamaning tahlili oldin keltirilgan sxema bo„yicha amalga oshiriladi. Regressiya koeffitsiyentlarini aniqlashda dispersiyani hisoblash uchun quyidagi ifodalar ishlatiladi:

𝑆


_{2𝑆2 =} 𝑡𝑎𝑘 _;
𝑏_{0 𝑁}


0
𝑆² = 𝑆² + 𝑛𝑆^𝑏ij ∑ 𝑥² ;

𝑏_0
𝑏*
_𝑁 ji
_𝑆2

𝑆² = ^𝑡𝑎𝑘 ; (7.52)

∑
𝑏j
𝑁 j=1
(𝑥_ji𝑥ju )

_{2𝑆2 =} 𝑡𝑎𝑘 _;

𝑏ii
^∑𝑁 (𝑥^* )

𝑡_i =

bunda i G 𝑢, i G 0.
j=1 ji
|𝑏_j|


^.𝑆𝑏j

𝑡𝑎𝑘
Agar 𝑡_j = 𝑡_j𝑎𝑑(𝑞₂ƒ₂) bo„lsa, koeffitsiyent ahamiyatli, ƒ₂ – 𝑆² ning erkinlik darajasi soni. Yakunlovchi bosqich – tenglamani Fisher me‟zoni bo„yicha adekvatlikka tekshirish.

Ikkinchi tartibli rotatabel rejalar.

Rotatabel rejalar 1957 yilda Boks va Xanterlar tomonidan tavsiya etilgan.
Tajribalarni rejalashtirishning ushbu usuli otrogonal markaziy kompoitli rejalashtirishga qaraganda sirt javobini aniqroq matematik ifodalash imkonini beradi. Bunga reja markaidagi tajribalar sonini ko„paytirish va “yulduzli yelka” 𝛼 qiymatini mahsus tanlash orqali erishiladi.
Turli n sondagi omillar uchun 𝛼 va n₀ ning ba‟zi qiymatlarini keltiramiz.

Reja parametri	Omillar soni
	2	3	4	5	5	6	6	7	7
Rejaning yadrosi	22	23	24	25	25−1	26	26−1	27	27−1
α	1,414	1,682	2,0	2,380	2,0	2, 830	2,380	3,360	2,830
𝑛0	5	6	7	10	6	15	9	21	14

n = 2, 𝛼 = 1,414, 𝑛₀ = 5 uchun ikkinchi tartibli rotatabelli rejalashtirishning matritsasini tuzamiz (7.6-jadval).
7.6-jadval

𝑁𝑛		𝑥0		𝑥1		𝑥2		𝑥1𝑥2		𝑥2 1		𝑥2 2
	1		+		+		+		+		+		+
	2		+		+		-		-		+		+
	3		+		-		+		-		+		+
	4		+		-		-		+		+		+
	5		+		+1,414		0		0		2		0
	6		+		-1,414		0		0		2		0
	7		+		0		+1,414		0		0		2
	8		+		0		-1,414		0		0		2
	9		+		0		0		0		0		0
	10		+		0		0		0		0		0
	11		+		0		0		0		0		0
	12		+		0		0		0		0		0
	13		+		0		0		0		0		0

Ikkinchi tartibli rotatabelli rejalashtirish matritsasi ortogonalmas, ya‟ni:
𝑁

ij
∑ 𝑥_0j 𝑥² G 0;

j=1
𝑁

ij
∑ 𝑥²

ij
𝑥² G 0.

j=1
Koeffitsiyentlarni hisoblash uchun formulalar quyidagilar:
𝑛

𝑏₀ =
2𝐴𝐵
_𝑁 [𝑆₀𝐵⁽𝑛 + 2⁾ − 𝐶 ∑ 𝑆_ii];
i=1

𝑏_i =


𝑏_ji =
𝐶 · 𝑆_i
; (7.53)
𝑁
𝐶²𝑆_ij
; i G j;
𝐵𝑁

𝑛
𝐴𝐶

𝑏_ii =
_𝑁 {𝑆_ii𝐶^[𝐵⁽𝑛 + 2⁾ − 𝑛^] + 𝐶⁽1 − 𝐵⁾ ∑ 𝑆_ii − 2𝐵𝐶₀}
i=1

bunda A, B, C – konstantalar, ular quyidagicha aniqlanadi:
1
^{𝐴 =} 2𝐵[⁽𝑛 + 2⁾𝐵 − 𝑛] ^;
𝑛 · 𝑁

𝐵 =
;
(𝑛 + 2)(𝑁 − 𝑁₀)

𝐶 =
𝑁


,𝑁 − 𝑁₀

bularda n – omillar soni; N – rotatabelli markaiy kompozitli rejalashtirishning umumiy tajribalari soni; N₀ – reja markazidagi tajribalar soni.
Tajriba natijalaridan quyidagi yig„indilar hisoblanadi:
𝑁
𝑆₀ = ∑ 𝑦_i ;
j=1
𝑁
𝑆_i = ∑ 𝑥_ji𝑦_j ; i = 1, … . , 𝑛;
j=1
𝑁
𝑆_i = ∑ 𝑥_ij𝑥_j𝑘 𝑦_j; i G 𝑢
j=1
𝑁

ji
𝑆_ii = ∑ 𝑥² 𝑦_j.
j=1
Dispersiyani baholash va koeffitsiyentlarni aniqlash quyidagi formulalar bo„yicha hisoblanadi:

𝑆₂ = 2𝐴𝐵(𝑛 + 2)

𝑆² ;

𝑏₀
𝑁
_𝑆2
𝑡𝑎𝑘

_{𝑆2 =} 𝑡𝑎𝑘
; ⁽i = 1, … . . , 𝑛⁾;

i𝑢
𝑁 − 𝑁₀
𝐴𝐶²𝑆²

_{𝑆2 =} 𝑡𝑎𝑘 _;

^𝑏iu
𝑁
𝐴𝐶²𝑆²

_{𝑆2 =} 𝑡𝑎𝑘
[𝐵⁽𝑛 + 1⁾ − (𝑛 − 1)].

^𝑏ii _𝑁
Koeffitsientlar ahamiyatli agar ^|𝑏_i^| > 𝑆_𝑏i𝑡 bo„lsa:
^∑ (𝑦^𝑒 − 𝑦^𝑝) − 𝑆² (𝑁₀ − 1)

𝑆² =
j j 𝑞𝑜𝑙
; (7.54)

𝑞𝑜𝑙
𝑁 −
⁽𝑛 + 2⁾⁽𝑛 + 1⁾ <sub>− (𝑁 − 1)

2</sub> 0
(𝑛 + 2⁾⁽𝑛 + 1⁾

ƒ_𝑞𝑜𝑙 = 𝑁 −
₂ − (𝑁₀ − 1).

Regressiya tenglamasining adekvatligi Fisher me‟zoni bo„yicha
tekshiriladi.

Statsionar sohani adekvat ifodalovchi ikkinchi tartibli regressiya tenglamasi olingandan keyin u texnologik jarayonning maqbul sharoitlarini tanlash uchun tahlil etiladi. Olingan tenglama javob sirtining shakli haqida ma‟lumot beradi.
Javob sirti konfiguratsiyasini o„rganish uchun tenglama kanonik shaklga tushiriladi (elliptik paraboloid, egar va h.z.) va undan ekstremum joyi izlanadi.

Nazorat savollari

1. 
   Qanday hollarda ikkinchi tartibli rejalashtirishga kirishiladi ?
   
2. 
   Ikkinchi tartibli rejalarning turlarini ayting.
   
3. 
   Ikkinchi tartibli ortogonal rejalashtirishning mohiyati nimadan iborat ?
   
4. 
   Rotatabelli ikkinchi darajali rejalashtirishning mohiyatini ayting.
   
5. 
   Ikkinchi darajali polinomni olgandan keyin sizning harakatlaringiz nimadan iborat bo„ladi ?
   

4. Rejalashtirish va maqbullashtirishning simpleks usuli

Simpleks usul javob sirti bo„ylab chiqish bosqichida qo„llaniladi.

Simpleks deb n + 1 cho„qqiga ega bo„lgan to„g„ri ko„p tomonga aytiladi, bunda n – jarayonga ta‟sir etuvchi omillar soni.
Agar n=1 bo„lsa, simpleks chiziqning bo„lagidir, n=2 – to„g„ri uchburchak, n=3 – tetraedr va h.z.
Simpleks rejalashtirish usulining ketma-ketligi quyidagilardan iborat: ko„tarilishni boshlash, tajribalarning boshlang„ich seriyasini shunday rejalashtirish kerakki, bu tajribalarning shartlariga mos nuqtalar ko„p o„lchovli omilli fazoda to„g„ri simpleksni hosil qilsin.
Dastlabki tajribalar seriyasi asl simpleksning vertikallariga mos keladi (7.5-rasm, 1 2 3 no„qtalar).

7.5-rasm. Optimumga harakat sxemasi

Dastlabki tajribalarning shartlari jarayonning ma‟lum texnologik rejimlaridan eng qulaylariga mos keladigan omillarning qiymatlaridan tanlanadi.

Birinchi qator tajribalari amalga oshiriladi (7.5-rasm, 1, 2, 3 nuqtalar), shundan so„ng eng yomon natija bergan nuqta (tajriba) aniqlanadi (7.5-rasmdagi 1, 2 va 3-nuqtada chiqish parametrlarining qiymatlari taqqoslanadi).
Bizning chizmamizda bu nuqta 1. Bu "yomon" nuqta biror yangiga o„zgartiriladi (7.5-rasm, 4-no„qta), bu simpleks tomoniga nisbatan qarama-qarshi oynadagi tasvirini ifodalovchi nuqta (vol. 2-jild. 3 shakl. 7.5-rasm, 2-nuqta – 3-nuqta). Yangi nuqtada tajriba o„tkaziladi (4- tajriba). Keyingi tajribalar natijalari yangi simpleks (2,3,4) cho„qqilarida taqqoslanadi, eng "muvaffaqiyatsiz" i tashlanadi va simpleksning bu cho„qqisi boshqa yangisiga (7.5-rasm, 3-nuqta 5-nuqtaga) o„tkaziladi. Yangi simpleks (2, 4, 5 nuqtalar, 7.5-rasm) olinadi va hokazo.
Ushbu tamoil optimumga erishilgancha davom ettiriladi.
Dastlabki simpleksning cho„qqilari (tajriba shartlari) mahsus jadval yordamida beriladi (7.7-jadval).
𝑥^𝑛+2 = 2𝑥^𝑐 − 𝑥^*, i = 1, … , 𝑛, (7.54)
i i i

i

i
bunda 𝑥^* − oldingi simpleksdagi eng yomon nuqtadagi (tajribadagi) i – chi omilning qiymati; 𝑥^𝑐 – qarama-qarshi tomon markaining koordinatasi, u quyidagicha joylashgan:

i
𝑥^𝑐 =

_∑𝑛+1 _𝑥ij




j=1
𝑛
; (7.55)

Dastlabki simpleks matritsasini tuzish.

Javob sirti bo„ylab harakatlanishni boshlashdan oldin dastlabki simpleksda tajriba shartlarini aniqlash kerak. Bu qiymatlarni hisoblash uchun kodlangan o„zgaruvchili dastlabki simpleksning tajribalar matritsasidan foydalaniladi.
7.7-Jadval

N	𝑥1	𝑥2	𝑥3	𝑥4	𝑥5	𝑥6
1	0,5	0,289	0,204	0,158	0,129	0,109
2	-0,5	0,289	0,204	0,158	0,129	0,109
3	0	-0,578	0,204	0,158	0,129	0,109
4	0	0	-0,612	0,158	0,129	0,109
5	0	0	0	-0,632	0,129	0,109
6	0	0	0	0	-0,645	0,109
7	0	0	0	0	0	-0,654

Maqbullashtirishni boshlashda jadval yordamida quyidagi formulalar bo„yicha tabiiy birliklarda dastlabki tajribalar ketma-ketligi matritsasini hisoblash kerak:

i
𝑥 _i − 𝑥⁰
X_i = ;

∆𝑥_i

i
𝑥_i = 𝑥⁰ + ∆𝑥_iX_i,
bunda X_i – jadvaldan kodlashtirilgan qiymatlar.
(7.56)

Sirt bo„ylab qadamli ko„tarilishda quyidagi holatlar bo„lishi mumkin:

1. 
   Simpleksning qandaydir eng yomon nuqtasini yangi simpleksda ko„rsatish natijasida akslangan nuqta ham eng yomon bo„lib chiqishi mumkin. Bunday holda, avvalgi simpleksga qaytib, undan chiqib, y ning ikkinchi eng yomon qiymatini ko„rsatgan nuqta bekor qilinishi kerak.
   
2. 
   Simpleks y ning eng katta qiymatiga mos qandaydir nuqta atrofida aylanadi. n+1 tajriba o„tkazilgandan keyin harakatni to„xtatish va ular aylanayotgan nuqta (tajriba) ni takrorlash kerak.
   

Agar bu nuqtada qiymat tasdiqlansa, demak, maqbul sohaga erishildi.

Shuni ta‟kidlash kerakki, simpleks usul ekstremumni topishning lokal usuli hisoblanadi.
Simpleks usuldan foydalanilganda tajribalarni takrorlash shart emas, chunki alohida tajribadagi xatolik faqat maqbullashtirishni birmuncha sekinlashtirishi mumkin.

1. Simpleks-rejalashtirish usulida maqbul sharoitni ilashga misol

Torfni mexanik namsizlantirish jarayoni tadqiq etildi. Masalaning qo„yilishi: namligi W = 60 % li torf olish. Torfdan namlikni chiqarishga ta‟sir etuvchi omillar:

𝑥₁(𝑔) – torfning filtrga solishtirma yuklamasi, kg/m²;
𝑥₂(𝑟) − qisishning davomiyligi, s;
𝑥₃(𝑝) – presslash bosimi, MPa;
𝑥₄(𝑇) – temperatura, ⁰C.
Tajriba sharoitlari va varirlash (o„zgartirish) qadamlari shakllantiriladi (n=4).

	𝑥1(g)	𝑥2 (𝑟)	𝑥3 (𝑝)	𝑥4 (𝑇)
𝑥0 i	0,3	60	1,2	60
∆𝑥i	0,2	30	0,8	30
Yuqori chegara	0,5	90	2,0	90
Quyi chegara	0,1	30	0,4	30

Omillar soni n=4, o„z-o„zidan dastlabki simpleksda tajribalar soni n+1=5.
Tajriba sharoitlari va dastlabki simpleksni hisoblash uchun kodlashtirish formulasi (7.56) va kodlardagi dastlabki simpleks matritsasidan foydalaniladi.

1. 
   Beshta tajribada birinchi omilning qiymatlari:
   

1
𝑥¹ = 0,3 + 0,2 · 0,5 = 0,4;

1
𝑥² = 0,3 + 0,2 · (−0,5) = 0,2;

1
𝑥³ = 0,3 + 0,2 · (0) = 0,3;

1
𝑥⁴ = 0,3 + 0,2 · 0 = 0,3;

1
𝑥⁵ = 0,3 + 0,2 · 0 = 0,3.

2. 
   Beshta tajribada ikkinchi omilning qiymatlari:
   

2
𝑥¹ = 60 + 30 · 0,298 = 68,7;

2
𝑥² = 60 + 30 · 0,298 = 68,7;

2
𝑥³ = 60 − 30 · 0,578 = 42,7;

2
𝑥⁴ = 60 + 30 · 0 = 60,0;

2
𝑥⁵ = 60,0.

3. 
   Beshta tajribada uchinchi omilning qiymatlari:
   

3
𝑥¹ = 1,2 + 0,8 · 0,204 = 1,36;

3
𝑥² = 1,36;

3
𝑥³ = 1,36;

3
𝑥⁴ = 1,2 − 0,8 · 0,612 = 0,71;

2
𝑥⁵ = 1,2.

4. 
   Beshta tajribada to„rtinchi omilning qiymatlari:
   

4
𝑥¹ = 60 + 30 · 0,158 = 64,71;

4
𝑥² = 64,7;

4
𝑥³ = 64,7;

4
𝑥⁴ = 64,7;

4
𝑥⁵ = 41,0.
Jadval to„ldiriladi (7.8-jadval).
Dastlabki simpleksda tajriba sharoitlari hisoblangandan keyin beshta tajriba (4+1) amalga oshiriladi. “Eng yomon” nuqta tanlanadi (7.8-jadval, 3-nuqta) va uning oynadagi aksi topiladi.
Aks ettirilgan nuqtalarning koordinatalari (7.54) va (7.55) formulalar bo„yicha hisoblanadi. Buning uchun 3-nuqta (eng yomon) qiymatidan tashqari 𝑥_i qiymatlarining yig„indisi topiladi:
𝑥_𝑢 = 0,4 + 0,2 + 0,3 + 0,3 = 0,3;

1 ₄
𝑥_𝑢 = 2 · 68,7 + 2 · 60,0 = 64,39;

2 ₄
𝑥_𝑢 = 2 · 1,36 + 0,72 + 1,2 = 1,16;

3 ₄
𝑥_𝑢 = 64,7 · 3 + 41,0 = 58,8.

4 ₄
7.8-jadval

N	𝑥1	𝑥2	𝑥3	𝑥4	𝑦5(W, %)	Simpleks nuqtalar	Yomon nuqta
1	0,4	68,7	1,36	64,7	64,85	1,2,3,4,5	3-n
2	0,2	68,7	1,36	61,00	61,00
3	0,3	42,6	1,36	67,15	67,15
4	0,3	60,0	0,72	67,13	67,13
5	0,3	60,0	1,2	66,35	66,35
6	0,3	86,2	0,96	63,23	63,23	1,2,4,5,6	4-n
7	0,3	81,8	1,72	66,5	66,50	1,2,5,6,7	7-n
8	0,3	92,7	1,5	61,35	61,35	1,2,5,6,8	5-n
9	0,3	76,2	0,87	64,00	64,00	1,2,6,8,9	1-n
10	0,15	93,3	0,98	62,50	62,50	2,6,8,9,10	9-n
11	0,176	94,1	1,53	61.90	61,90	2,6,8,10,11	6-n
12	0,12	88,2	1,73	59,70	59,70	2,8,10,11,12

Simpleks 6-nuqtasining koordinatalari (sharoit):

1
𝑥⁶ = 2 · 0,3 − 0,3 = 0,3;

2
𝑥⁶ = 2 · 64,39 − 42,6 = 86,2;

3
𝑥⁶ = 2 · 1,16 − 1,36 = 0,96;

4
𝑥⁶ = 2 · 58,8 − 64,75 = 52,9.

6. 
   chi tajribaning shartlari 7.8-jadvalga yoziladi. 6-chi nuqtada tajribalar o„tkaziladi. 1, 2, 4, 5, 6 simplesdan eng yomon nuqta tanlanadi. Bu 4-chi nuqta. U oynaga akslantiriladi. Shunday amaliyot maqbul natija olinganicha davom ettiriladi (12-chi nuqta).
   

Nazorat savollari

1. 
   Rejalashtirish va maqbullashtirishni simpleks usulining mohiyati nimadan iborat ?
   
2. 
   Simpleks rejalashtirishning usiunligi nimadan iborat ?
   
3. 
   Maqbul sohaga kelinganligi qanday aniqlanadi ?
   
4. 
   Oynaga akslantirish nima maqsadida amalga oshiriladi ?
   
5. 
   Sirtga qadamli chiqib borishda nimalarga e‟tibor berish kerak
   

?
VIII BOB. KIMYOVIY- TEXNOLOGIK JARAYONLARNI MAQBULLASHTIRISH

1. Kimyoviy-texnologik jarayonlar uchun maqbullashtirish masalalarining umumiy harakteristikasi (tasnifi)

Modellashning yakuniy bosqichida ob‟ektni maqbullashtirish ko„rinishda noan‟naviy usulda qarab chiqaylik. Masala bunday yondashuv maqbullashtirishning bajarilishida modelning fizik-kimyoviy yoki statistik bo„lishiga qaramasdan modellashtirishning universal bloki ekanligi va modelni yaratishda uni hisoblash dastlabki o„ziga xosligiga amalda bog„lik emas.

Umumiy holda maqbullashtirish - bu maqbul sharoitlarni, ya‟ni berilgan ob‟ektning maqbul natijalar bilan faoliyat yuritishni ta‟minlovchi sharoitlarni topish amaliyotidir. Matematika nuqtai nazaridan maqbullashtirish deganda mos holdagi funksiyaning ekstemumlarini, ya‟ni bog„liq bo„lmagan kirish o„zgaruvchanlar qiymatlarini chiqish eng kichik (minimum) yoki eng katta (maksimum) qiymatlariga mos keladiganlarini izlashdir. Ekstrimum nuqtalarida funksional bog„liqlik harakterli o„zgaradi. Masalan, o„sib boruvchidan kamayuvchiga (8.1-rasm), minimumlarda esa teskari o„zgaradi.
Matematika bunday nuqtalar monotanmas ekstremal bog„liqliklarda funksiya hosilasini nulga tenglashtirib aniqlanadi. Lekin berilgan maydonda ekstremumlarni izlashda kirish o„zgaruvchilari qiymatlarini global (haqiqiy) va lokal (nisbiy) ga ajratish lozim.

8.1-rasm. Funksiyaning mahalliy va global eksrimumlari

Masalan, 8.1-rasmdagi egri chiziqda argumentning maydon chegara x_l dan x₂ gacha 5 ta ekstremumni ajratish mumkin.

1 - global maksimum, 2 - global minimum,
3 - mahalliy maksimum, 4 - mahalliy minimum, 5 - mahalliy maksimum.
Agar berilgan holatda y ≥ y_n sharoitni qanoatlantiruvchi minimumni topish talab etilsin, u holda masalaning yechimi 2 nuqtada emas 4 nuqta bo„ladi.
Hisoblashlar orqali ob‟ektni bosqichlarini matematik jihatdan tekshirilish muhim ekanligini tushunish ahamiyat.
Shuni tushunish muhimki, matematik jihatdan ob‟ektlarni hisoblashlar yordamida tadqiq etish bosqichi bugungi kunda ingliz tili terminalogiyasi bo„yicha “simulyatsiya” deyiladigan simulation so„zidan

• 
  modellash matematikasiga va ob‟ektni maqbullashtirish bosqichiga ajratilgan. Chunki ularda turli matematik amallar ishlatiladi. Bu yerda terminlarda (8.1-jadval) adashish kerakmas.
  

8.1-jadval

Simulyatsiya		Maqbullashtirish
Bog„liq bo„lmagan x o„zgaruvchi
Boshqariluvchi o„zgaruvchi		Maqbullashtiruvchi omil
Bog„liq y o„zgaruvchi
Chiquvchi o„zgaruvchi		Maqbullashtirish mezoni