Samarqand davlat

Y uchta o„zgaruvchiga, ya‟ni x₁, x₂ va x₃ ga bog„liq bo„lgan holatni ko„rib chiqaylik. Birinchi mumkin bo„lgan taxmin: y aslida kuzatilgan kirishlar va uning o„rtacha y dan barcha og„ishlariga bog„liq bo„lmagan tasodifiy xatolar bilan izohlanadi:
𝑦 = 𝑏₀, (1.13)
bunda va keyinchalik 𝑏 − empirik koeffitsient.
Agar tekshirishlar y ning b qiymatidan chetlanishlari chindan ham tajribalarning tasodifiy xatosi bilan bir xil tartibda bo„lsa, kelajakda (1.13) formuladan foydalanib, y ni doimiy deb hisoblash mumkin. Agar y ning eksperimental va hisoblangan qiymatlari orasidagi farqni tasodifiy xatolar bilan izohlab bo„lmaydigan bo„lsa, u holda tenglama adekvat emas va quyidagi yaqinlashuvni (chiziqli) tekshirish kerak:
𝑦 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃. (1.14)
Tekshirish yana amalga oshiriladi. Agar (1.14) ifodasi ham adekvat bo„lmasa, u holda natijalar 2-tartibli polinom shaklida qayta ishlanadi:
𝑦 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃ + 𝑏₁₂𝑥₁𝑥₂ + 𝑏₁₃𝑥₁𝑥₃ + 𝑏₂₃𝑥₂𝑥₃ +
+ 𝑏₁₁𝑥² + 𝑏₂₂𝑥² + 𝑏₃₃𝑥². (1.15)
1 2 3

3
Ushbu tenglama ham adekvat bo„lmasa, u holda 3- va boshqa tartibli polinomlar tekshiriladi. b koeffitsientlarning indekslar qanday yozilganiga e‟tibor bering. Indeks tenglamada berilgan argumentlarning qaysilari ko„paytirilishini ko„rsatadi. Shunday qilib, b₁₂ - x₁ va x₂ ko„paytirilishidagi koeffitsiyent, b₃₃ - x₃ va x₃ lar ko„paytmasining koeffitsiyent, ya‟ni 𝑥² da va h.z.
Polinom tartibining oshishi bilan tavsifning aniqligi oshadi, lekin shu bilan birga modelning talqini, ya‟ni har bir omil va turli omillarning turli kombinatsiyalarini ta‟sirini tahlil qilish murakkablashadi. Bundan tashqari, tenglama qancha koeffitsiyentni o„z ichiga olsa, ularni topish uchun shuncha ko„p tajriba o„tkazish kerak bo„ladi. Tajribalarning minimal soni koeffitsientlar soniga teng va adekvatlikni baholash uchun kutilayotgan koeffitsientlar sonidan ko„proq tajribalar o„tkazilishi kerak. Shunday qilib, chiziqli modelni (1.14) olish uchun kamida 4 ta, (1.15) modeli uchun - kamida 10 ta va uchta argumentli uchinchi tartibli model uchun - kamida 20 dan ortiq tajriba o„lishi kerak. Tartibi 3 dan katta bo„lgan tenglamalar amalda kamdan-kam uchraydi.
Empirik bog„liqliklarning polinomlar (polinomli formulalar) bilan ifodalanishi eng ko„p uchraydi. Chunki bunday taxminiy formulalarning matematik xossalari yaxshi o„rganilgan, ular bilan muomala qilish oson. Polinomli formulalarni tekshirmasdan ishlatish har doim ham muvaffaqiyatga olib kelavermaydi. Boshqa sinflarning funksiyalarini o„z ichiga olgan formulalar yordamida ob‟ektning ba‟zi xususiyatlarini aks ettirish odatda qulayroqdir. Jumladan tebranish jarayonlarini ifodalashda, shubhasiz, trigonometrik funksiyalardan foydalanish yaxshiroqdir. Agar argumentni o„zgartirish chegaralari kichik bo„lsa, bunday jarayonni polinom bilan ta‟riflash mumkin, lekin ifoda asossiz murakkab bo„ladi.
Kimyo va kimyo texnologiyasida asimptotalarga bog„liqliklar tez- tez uchrab turadi: argumentning cheksiz o„sishi bilan funksiya asimptotik tarzda ma‟lum bir doimiy qiymatga yaqinlashadi (1.2 -rasm).

1.2-rasm. Asimptotik bog„liqlik 1 – tushuvchi, 2 – oshuvchi
1.2-rasmda ko„rsatilgan bog„liklikdagi 1 egrilik har qanday moddaning miqdorini kamayishi bilan bog„liq bo„lishi mumkin (masalan, reaksiya uchun reaktivning sarflanishi bilan); 2 egrilik bilan ko„rsatilgan bog„liqlik ko„pincha muvozanatga yaqinlashganda paydo bo„ladi. Har qanday polinomli formulalar asimptotalar bilan bog„liqlikni qayta takrorlamaydi; x qiymatlarining kichik oralig„ida ifoda juda aniq bo„lishi mumkin, lekin interval kengaytirilganda polinom muqarrar ravishda bog„liqlik harakterini buzadi. Shuning uchun bunday hollarda tenglamalarning boshqa shakllarini izlash maqsadga muvofiq. Masalan, 1-egri uchun quyidagi tenglama mos keladi:
𝑦 = 𝑏𝑒^−𝑘𝑥, (1.16)

2. 
   egrilik uchun esa
   

𝑦 = 𝑏(1 − 𝑒^−𝑘𝑥), (1.17)

yoki

𝑦 =

𝑏₁𝑥



1 + 𝑏₂𝑥

. (1.18)

formulalar mos keladi.
Yana bir keng tarqalgan holat - bu agar biron-bir argument nolga intilsa, funksiya ham nolga intilagandagi bir yoki bir nechta argumentlarga bog„liqlik. Bunday bog„liqliklar o„lchovsiz sonlar o„xshashlig o„rtasidagi munosabatni aniqlaydigan bir qancha ifodalarga xosdir. Bunga misol Nusselt (Nu) sonining Reynolds (Re) va Prandtl (Pr) sonlariga bog„liqligidir. Uni darajali bir had ko„rinishida aniq ifodalash oson:
𝑁𝑢 = 𝐵𝑅𝑒^𝑚𝑃𝑟^𝑛, (1.19)
bunda m va n - empirik koeffitsientlar, odatda butun sonlar emas. Agar (1.19) tenglamaning har ikkala tomonini logarifmlasak, unda ko„phadning oddiy varianti bo„lgan chiziqli tenglamaga ega bo„lamiz olamiz.

3. Modellarning ayrim o„ziga xos tomonlari va matematik modellashtirish muammolari