Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

2.3 Integro-differensial tenglama uchun Koshining limitik masalasi
yechimining boshlang’ich shartdan va yadrodan uzluksiz bog’liqligi.
Ushbu

Integro-differensial tenglama uchun Koshining limitik masalasini qaraymiz:

Ko’rinib turibdiki masala ushbu

integral tenglamaga teng kuchli.
Biz yuqorida bu tenglamaning yechimi mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlagan edik. Bu yerda yechimning boshlang’ich shartga uzluksiz bog’liqligi haqidagi teoremani isbotlaymiz.
Faraz qilaylik funksiya tenglamaning oraliqdagi yechimi, funksiya esa

tenglamaning oraliqdagi yechimi bo’lsin.
3.3.1-teorema. Faraz qilaylik
1) funksiya

sohada, funksiya esa

sohada aniqlangan va

shartlar bajarilsin.
2) va funksiyalar argumenti bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantirsin


bu yerda

deb hisoblanadi. U holda shunday va sonlar mavjud bo’ladiki, oraliqda

bo’lganda

tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
Isbot. va tengsizliklardan quyidagini yozib olamiz:


yoki

integral tengsizliklar haqidagi teoremaga ko’ra

Agar

desak

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu esa masala yechimining ozod hadga uzluksiz bog’liqligini bildiradi, ya’ni boshlang’ich shartning ozgina o’zgarishiga yechimning ham ozgina o’zgarishi mos keladi.
Endi


masala yechimining va funksiyalardan uzluksiz bo’liqliqligi masalasini o’rganamiz. Buning uchun bu masalani unga ekvivalent bo’lgan integral tenglama bilan almashtiramiz:

Faraz qilaylik funksiya

tenglamaning, esa

tenglamaning oraliqdagi yechimi bo’lsin.
3.3.2-Teorema. Agar funksiyalar va sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar bo’lib, ular uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi 3.2.1-teoremaning barcha shartlari bajarilsin. U holda shunday sonlar mavjud bo’ladiki va sohalarda


tengsizliklar bajarilganda oraliqda

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerda

va

Isbot. va tengliklardan quyidagilarga ega bo’lamiz:




Demak,

bu yerda

Oxirgi tengsizlikka integral tengsizliklar haqidagi 3.2.1-teoremani tadbiq etsak

tengsizlik hosil bo’ladi. Yoki

bu yerda

Bunda deb olinsa

bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.