Системы счисления

Десятичная цифра p = 10
Эквиваленты в системах счисления
p = 2	p = 8	p = 16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Для примера рассмотрим запись различных чисел в 2-чной, 8-чной, десятичной и 16-чной системах счисления:

10-1-2

1. 
   ;
   

10 -1

2. 
   ;
   

210-1-2

3. 
   ;
   

2 1 0 -1

4. 
   .
   

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработана шестнадцатеричная система.
Числа в этой системе читаются почти так же легко, как десятичные, требуют в четыре раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (например, число 16 =2⁴).
Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

2. Преобразование чисел в системах счисления

2.1. Перевод чисел в десятичную систему счисления.
Так как десятичная система для нас удобна и привычна, все арифметические действия мы делаем в ней, и преобразование чисел из произвольной недесятичной (p 10) системы в десятичную удобно выполнять на основе разложения по степеням p, т.е. необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.
Рассмотрим примеры:

1 0 -1 -2

1. 
   10,11₂ = 1·2¹ + 0·2⁰ + 1·2^-1 + 1·2^-2 = 2+0 + 1·1/2 + 1·1/4 = 2,75₁₀;
   

1 0 -1

2. 
   67,5₈ = 6·8¹ + 7·8⁰ + 5·8^-1 = 6·8 + 7·1 + 5·1/8 = 55,625₁₀;
   

2 1 0 -1

3. 
   19F,4₁₆=1·16² +9·16¹+F·16⁰+4·16^-1=1·256 9·16+15·1+4·1/16=415,25₁₀;
   

2 1 0

4. 
   А87₁₆=А·16²+8·16¹+7·16⁰=10·16²+8·16¹+7·16⁰=2560+128+7=2695₁₀ .
   

2.2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления более сложен. Рассмотрим алгоритмы перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Алгоритм перевода целого числа и целой части неправильной дроби из десятичной системы счисления в другую с основанием p: Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы ( т.е. на p ) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее p. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример 4. Перевести число Х = 231₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.

231 230	2
	115 114		2	2
1			57 56
	1			28 28	2
			1		14 14	2
				0		7 6	2
					0		3 2	2
						1		1
							1

Ответ: В результате получаем двоичное число: Х₂ = 11100111₂.

Проверка: 11100111₂=1×2⁷+1×2⁶+1×2⁵+0×2⁴+0×2³ +1×2² +1×2¹+1× 2⁰= =128+64+32+4+2+1= 231₁₀.

Пример 5. Перевести число Х = 622₍₁₀₎ в шестнадцатеричную систему счисления.

622	16
608	38	16
14	32	2
	6

Ответ: В результате получаем: .
Проверка: .

Для дробных чисел правило последовательного деления заменяется правилом последовательного умножения.

Алгоритм перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в новую с основанием p: 1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание системы (на p) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений. 2. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Пример 6. Перевести число Х = 0,75₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.

0	75
	х 2
1	50
	х 2
1	00

Ответ: Х = 0,11₍₂₎

Заметим, что в десятичной системе счисления правильная дробь переводится в десятичную дробь в конечном виде только в том случае, если ее знаменатель в качестве множителей имеет только степени двоек и пятерок. Все же остальные дроби переводятся в бесконечные периодические дроби. Аналогично в двоичной системе счисления конечный вид получают дроби, где в знаменателе только степени двойки, т.е. большинство десятичных конечных дробей в двоичной системе счисления будут бесконечными периодическими дробями.

Пример 7. Перевести число Х = 0,2₍₁₀₎ в двоичную систему счисления с точностью до четырёх знаков после запятой.

0,	2
	х 2
0	4
	х 2
0	8
	х 2
1	6
	х 2
1	2

Ответ: Х = 0,(0011)₍₂₎.

Для перевода смешанных чисел из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по выше описанным алгоритмам.

Пример 8. Перевести число Х= из десятичной системы счисления в двоичную. Число 33,125 рассматривается как сумма чисел: 33+0,125.

1. 
   Переведем целую часть:
   

33	2
32	16	2
1	16	8	2
	0	8	4	2
		0	4	2	2
			0	2	1
				0

2) Переведем дробную часть:

0,	125 х 2
0	25 х 2
0	5 х 2
1	0

Таким образом: ; .
Ответ: .
Проверка:
Пример 9. Перевести число Х = 20,25₍₁₀₎ в троичную систему счисления.
Число 20,25 рассматривается как сумма чисел: 20₁₀+0,25₁₀.
20,25₁₀ = 20₁₀ + 0,25₁₀ ;

А)	20	3						Б)	0,	25 3
	18	6	3						0	75 3
	2	6	2						2	25 3
		0							0	75 3
									2	25

В результате перевода целого числа 20 получаем Х = 202₍₃₎, а в результате перевода десятичного числа 0,25 получаем Х = 0,(02)₍₃₎.

Таким образом, 20₁₀+0,25₁₀ =202₍₃₎+ 0,(02)₍₃₎= 202,(02)₍₃₎.