Teorema de Thevenin

Circuito inductivo en AC.

En la figura 34, se muestra un circuito inductivo en AC, en donde Vi representa una fuente de voltaje de la forma: Vi = Vp sin (wt).

Figura 34. Inductancia conectada a una fuente de voltaje alterna.

La expresión para la corriente del circuito puede determinarse a partir de: Vi – L dI /dt = 0, de donde, dI/dt = (1/L)*Vi, de aquí que: dI = (Vp/L) sin (wt) dt.

Integrando la anterior expresión respecto al tiempo, se obtiene: I = - (Vp/(w*L)) cos (wt)

Lo cual se puede escribir como: I = (Vp/(w*L)) sin (wt - /2)

De lo anterior se deduce que la corriente y el voltaje en el inductor se encuentran en desfase, estando la corriente del circuito atrasada respecto al voltaje del inductor, siendo la diferencia fase de /2. Esta situación se muestra en la figura 35.

Figura 35. a) Gráfica de corriente y voltaje en un inductor en función del tiempo para un circuito inductivo en AC. b) Diagrama de fasores para el circuito (modificado de Serway et al., 2009).

Ahora, haciendo Ip = (Vp/(w*L)) y comparando esta expresión con la dada para la corriente pico en un circuito resistivo: Ip = Vp/R, se puede establecer que el término w*L debe comportarse como una resistencia medida en ohmios (). Por lo tanto, para este circuito se tiene que, la oposición al paso de la corriente eléctrica presentada por un inductor es de la forma w*L, lo cual se denomina reactancia inductiva: X_L = w*L.

Es evidente la dependencia de la reactancia inductiva con la frecuencia del voltaje de la fuente a través de la expresión: w = 2**f, siendo f, la frecuencia en hertzios del voltaje de la fuente.

Con la expresión para X_L, Ip se puede escribir como: Ip = Vp /X_L.

Por tanto, I = (Vp /X_L) sin (wt - /2).

Circuito RLC en serie en AC.

En la figura 36, se muestra un circuito RLC serie en AC, en donde Vi representa una fuente de voltaje de la forma: Vi = Vp sin (wt).

Figura 36. Circuito RLC serie en AC.

La expresión para la corriente del circuito es de la forma: I = Ip sin (wt - ), donde  es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje total. Esta expresión para la corriente puede obtenerse aplicando la teoría de fasores. En efecto, el diagrama de fasores para la corriente del circuito y el voltaje en cada elemento de dicho circuito se muestra en la figura 37.

Figura 37. Diagrama de fasores para: a) la resistencia, b) el inductor y c) el capacitor (modificado de Serway et al., 2009).

Al representar en un solo diagrama todos los casos, se tiene el diagrama mostrado en la figura 38.

Figura 38. Diagrama de fasores para la corriente y los voltajes en cada elemento del circuito RLC serie en AC (modificado de Serway et al., 2009).

Si se considera V_L > Vc, se tiene la situación mostrada en la figura 39.

Figura 39. Diagrama de fasores para la corriente y los voltajes en cada elemento del circuito RLC serie en AC, considerando la condición: V_L > Vc (modificado de Serway et al., 2009).

A partir del diagrama de la figura 39 se ve que:

Vp = (V_Rp ² + (V_Lp – Vcp)²) ^½

de donde, Vp = ((Ip * R) ² + (Ip* X_L – Ip*Xc)²) ^½

con lo cual se tiene: Vp = Ip * (R ² + (X_L – Xc)² ) ^½

obteniéndose, Ip = Vp / (R ² + (X_L – Xc)² ) ^½

y comparando nuevamente con la expresión para una resistencia: Ip = Vp /R, se deduce que el término del denominador en la expresión anterior puede interpretarse como una oposición al paso de la corriente eléctrica AC debido al efecto combinado de la resistencia, el condensador y la bobina, esto es, el concepto general de resistencia eléctrica para circuitos AC, denominada impedancia Z.

Por tanto, para un circuito RLC serie en AC, la impedancia medida en ohmios (), viene dada por Z = (R ² + (X_L – Xc)² ) ^½ , de tal modo que: Ip = Vp /Z.

Además, de la figura 39 se ve que:

 = tan ^-1 (( V_Lp – Vcp) / V_Rp) = tan ^-1 ((X_L – Xc) / R)

Con lo cual queda claramente definido .

Consideraciones:

1. 
   Si: X_L > Xc, entonces,  es positivo y la corriente se atrasa respecto al voltaje total aplicado Vi, lo cual ocurre para altas frecuencias del voltaje de entrada, ya que X_L = w*L y Xc = 1 / (w*C). Se puede apreciar entonces que el circuito RLC tiende a comportarse de modo inductivo.
   

2. 
   Si: X_L < Xc, entonces,  es negativo y la corriente se adelanta respecto al voltaje total aplicado Vi, lo cual ocurre para bajas frecuencias del voltaje de entrada. En este caso, el circuito RLC tiende a comportarse como un circuito capacitivo.
   

3. 
   Si: X_L = Xc, entonces,  es cero, en consecuencia, la corriente y el voltaje total se encuentra en fase. En este caso, el circuito RLC tiende a comportarse como un circuito resistivo. Además, como X_L = Xc, entonces Z = R. Por lo tanto, la corriente en el circuito es máxima, ya que para este caso, Ip = Vp/Z = Vp /R.
   

La condición X_L = Xc, es equivalente a que 1/w*C = w*L, lo cual implica que:

w = (1/(L*C))^1/2.

Ahora, como w = 2**f, entonces se tiene que: f = 1/(2) * (1/(L*C))^1/2 . Por lo tanto, si la frecuencia del voltaje alterno es igual a 1/(2) * (1/(L*C))^1/2, se tiene entonces que el circuito entra en resonancia ya que la fuente hace que el circuito oscile a su propia frecuencia natural de oscilación con lo que la amplitud de la oscilación es máxima, observándose como se mencionó anteriormente que la corriente se encuentra en fase con el voltaje de la fuente y el circuito se comporta como si no existieran efectos inductivos y capacitivos.

Cabe aclarar que a partir del análisis del circuito RLC serie presentado, es fácil mostrar como casos particulares, el comportamiento del circuito RC serie y RL serie en AC.