Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

2.3.1-teorema Bernulli tengsizligi. Barcha va lar uchun
(2.3.1)
tengsizlik o’rinlidir. Agar yoki bo’lsa, u holda
(2.3.2)
tengsizlik o’rinlidir. (2.2.1) va (2.2.2) tengsizliklardan faqat bo’lgandagina tenglik bajariladi.
Isbot: dastlab (II.2.1) – tengsizlikni isbotlaymiz. Faraz qilaylik, ratsional son bo’lib, m va n narural sonlar topilib, va bo’ladi. Shartga ko’ra . Shu sababli ushbu

munosabatlar o’rinlidir. Bunda tenglik belgisi faqat va faqat ildiz ostidagi ko’paytuvchilar bir xil bo’lgandagina, ya’ni yoki bo’lsa bajariladi. Agar bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinlidir. Shunday qilib, teoremaning birinchi qismi - ratsional son bo’lgan hol uchun isbotlandi. Endi irratsional son bo’lgan holni qaraymiz. Faraz qilaylik, biror ratsional sonlar ketma-ketligi bo’lib, va bo’lsin. Yuqorida isbot qilingan tasdiqqa ko’ra istalgan n natural soni va uchun tengsizlik o’rinlidir. Demak,
.
Hosil bo’lgan munosabat (2.3.1) – tengsizlik irratsional son bo’lganda ham o’rinli ekanligini bildiradi. Endi irratsional son bo’lganda bo’lsa tenglik bajarilmasligini isbotlaymiz. Shu maqsadda shartni qanoatlantiruvchi p –ratsional sonni olamiz. Qulaylik uchun ifodani
kabi yozib olamiz. bo’lgani uchun yuqorida isbotlangan tasdiqqa ko’ra tengsizlik o’rinlidir. Shu sababli ga ega bo’lamiz. Agar bo’lsa, u holda ya’ni . Shunday qilib, teoremaning birinchi qismi to’liq isbotlandi.
Teorema ikkinchi qismining isbotiga o’tamiz. Agar bo’lsa, u holda (II.2.2) –tengsizlikning chap tomoni nomanfiy, o’ng tomoni esa manfiy bo’lganligi uchun (II.2.2) –tengsizlik bajariladi.
Agar , ya’ni bo’lsa, u holda har bir holda alohida alohida qaraymiz. Faraz qilaylik bo’lsin. U holda teoremaning isbotlangan birinchi qismiga ko’ra,
.
Bu holda tenglik faqat bo’lgandagina bajariladi. Hosil bo’lgan tengsizlikning har ikkala tomonini -darajaga ko’tarib, tengsizlikni hosil qilamiz.
Faraz qilaylik, bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda n –natural sonni shunday tanlaymizki, tengsizlik bajarilsin. Teoremaning birinchi qismiga ko’ra

(2.3.3)
tengsizlik o’rinlidir. Oxirgi tengsizlik bo’lganligi uchun bajariladi. (2.3.3) –tengsizlikning har ikkala tomonini n–darajaga ko’tarib,

ni hosil qilamiz. Shuni alohida ta’kidlash joizki, oxirgi tengsizlikda tenglik sharti faqat bo’lganda bajariladi. Teorema to’liq isbotlandi.
Bernulli tengsizligi tadbiqiga doir misollar qaraymiz.