Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti
Download 389.69 Kb.
|
bmi sh.i
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.2.2.Teorema
|
2.2.4-misol: x,y,z ∈ R+ shunday bo'lsinki, x + y + z = 1. Tengsizlikni isbotlang.
Tenglik qachon yuzaga keladi? Yechim. A ≥ G bo'lgani uchun bizda bor Shunga o'xshash tarzda biz olamiz va Ushbu uchta tengsizlikni qo'shib, biz natijani olamiz. Tenglik faqat va faqat xyz = yzx = zxy, ya'ni x = y = z bo'lganda amalga oshiriladi. x + y + z = 1 bo'lgani uchun biz tenglik x = y = z = 1/3 bo'lishini olamiz. 2.5-misol. x,y,z > 0 haqiqiy sonlar bo’lsin. Tengsizlikni isbotlang Tenglik qachon yuzaga keladi? Yechish: a= x + y,b = y + z,c = z + x bo'lsin. Keyin a,b,c > 0 aniq bo'ladi va bundan kelib chiqadi (2.1) Xuddi shunday 2.4-misoldagi kabi, har qanday a,b,c > 0 uchun isbotlashimiz mumkin (2.2) Yuqoridagi tengsiziklardan kelib chiqib Tenglik agar (2.2) da tenglikka ega bo'lsak, ya'ni a = b = c bo'lsa, undan x = y = z degan xulosaga kelamiz. 2-Bobda. Biz ikkita va uchta o'zgaruvchining o'rtacha tengsizliklarini muhokama qildik. Ushbu bo'limda biz ularning umumlashtirilishini ishlab chiqamiz, ya'ni o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soni uchun o'xshash teoremani taqdim etamiz. Bu tengsizliklar alohida ahamiyatga ega, chunki ular murakkabroq tengsizliklarni isbotlash uchun asosiy apparatning bir qismidir. 2.2.2.Teorema.(O'rtacha tengsizliklar). a1,a2,...,an musbat haqiqiy sonlar bo'lsin. Raqamlar K= a1,a2,...,an sonlari uchun mos ravishda kvadrat, arifmetik, geometrik va garmonik o'rtacha deyiladi va bizda K ≥ A ≥ G ≥ H. Tengliklar faqat a1=a2=,...=an bo'lganda yuzaga keladi. Isbot. Birinchidan, biz A ≥ G ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni. (2.3) keyin (2.4) uchun . Keyin har bir uchun xi> 0 va bizda bor x1x2 · · · xn = 1. Tengsizlik (2.3) ga ekvivalent ya'ni x1 + x2 + · · · + xn ≥ n, x1x2 · · · xn = 1 bo'lganda, (2.5) x1 = x2 = · · · = xn = 1 bo'lgan taqdirdagina tenglik bilan Tengsizlikni (2.5) induksiya orqali isbotlaymiz. n = 1 uchun tengsizlik (2.5) to'g'ri; tenglikka aylanadi. Agar n = 2 bo'lsa, x1x2 = 1 va biz x1 + x2 ≥ 2.ni olamiz. Demak, (2.5) to'g'ri va agar x1 = x2 = 1 bo'lsa, tenglik yuzaga keladi. Faraz qilaylik, n = k va ixtiyoriy musbat haqiqiy sonlar x1,x2,...,xk uchun, bizda x1 + x2 + · · · + xk ≥ k bo‘ladi, faqat va agar shunday bo‘lsa, tenglik bilan. n=k+1 bo’lganda x1x2 · · · xk +1 = 1 bo'ladigan ixtiyoriy musbat haqiqiy sonlar bo'lsin. Agar x1 = x2 = · · · = x k +1 = 1 bo'lsa, (2.5) tengsizlik aniq bajariladi. Demak, 1 dan kichik sonlar bor deb faraz qilaylik. Shunda aniqki, 1 dan katta raqamlar ham bor. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz x1 < 1 va x2 > 1 deb taxmin qilishimiz mumkin. U holda, k ta haddan iborat bo'lgan x1x2x3,...,xk +1 ketma-ketliklar uchun bizda (x1x2)x3 · · · x k +1 = 1 va induksiya gipotezasiga ko'ra bizda x1+x2 + x3 + · · · + xk +1 ≥ k, va tenglik sodir bo'ladi, agar x1=x2 = x3 = · · · = xk +1 = 1. Endi bizda bor x1+ x2+ ·· + xk +1 ≥ x1+x2 + ··· +xk +1+1+ (x2 − 1)(1 − x1)≥ k + 1 + (x2−1)(1 − x1) ≥ k + 1, tenglik bilan, agar x1=x2 = x3 = · · · = xk +1 = 1 va (x2 - 1)(1 - x1) = 0, ya'ni x1 = x2 = · · · = xk +1 = 1 bo'lsa Demak, matematik induksiya tamoyilidan kelib chiqib, (2.5) isbotlangan degan xulosaga kelamiz. Shunday qilib, (2.4) ga binoan bizda, Demak, biz (2.3) ni isbotladik va tugatdik. Biz G ≥ H ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni A ≥ G tomonidan shundan kelib chiqadi ya'ni bizda bor va aniq tenglik faqat va faqat , ya'ni a1 = a2 =…….= an. bo'lganda amalga oshiriladi. Biz (a1,a2,...,an) va (1,1,...,1) ketma-ketliklari uchun Koshi-Shvars tengsizligidan foydalanamiz. ⇔ ⇔ Tenglik, agar va faqat bo'lsa, amal qiladi. 2.5-misol: a,b,c,d ∈ R+ shunday bo‘lsinki, abcd = 1. Tengsizlikni isbotlang. a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd ≥ 10. Yechim A ≥ G ga asosan bizda mavjud Tenglik faqat a = b = c = d = 1 bo'lganda amalga oshirilad Download 389.69 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|