Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

2.2.1-misol. Har qanday x > 0 haqiqiy son uchun quyidagi tengsizlik amal qilishini isbotlang

Yechish: Aniq tengsizlikdan (x − 1)² ≥ 0 ga egamiz
x² − 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x² + 1 ≥ 2x,
va x > 0 bo'lgani uchun, agar x ga bo'linsak, kerakli tengsizlikni olamiz. Tenglik faqat va faqat x - 1 = 0, ya'ni x = 1 bo'lganda sodir bo'ladi.


2.2.2-misol. a,b ∈ R⁺ bo'lsin. Tengsizlikni isbotlang
.
Yechish Aniq tengsizlikdan (a − b)² ≥ 0 ga ega bo‘ldik
a² − 2ab + b² ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ 2ab ⇔ ⇔ .
Tenglik faqat a - b = 0, ya'ni a = b bo'lgan taqdirdagina yuzaga keladi.


2.2.3-misol. (Nesbit tengsizligi) a,b,c musbat haqiqiy sonlar bo’lsin. Tengsizlikni isbotlang

1.2-misolga muvofiq yechim
(1.1)

Keling, tengsizlikni qayta yozamiz ( ya'ni.1.1)

Tenglik faqat va agar biz osongina a = b = c xulosa chiqarsak sodir bo'ladi.

Ushbu bo'limda biz birinchi navbatda talabaning ushbu sohadagi vazifalarni hal qilishda to'liq ko'tarilishi uchun muhim ahamiyatga ega bo'lgan vositalar o'rtasidagi tengsizlikni eslatib o'tamiz va isbotlaymiz. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu bo'limda biz ikki yoki uchta o'zgaruvchini ko'rib chiqadigan holatni muhokama qilamiz, umumiy holat esa keyinroq ko'rib chiqiladi.
2.2.1.teorema: a, b € R bo’lsin va , K= , A= , G=
va Keyin K≥A≥G≥H tenglik faqat a=b bo’lganda o’rinli bo’ladi.
Isbot: Birinchidan, K≥A ekanligini ko’rsatamiz. a, b € R⁺ bo’lgani uchun (a − b)² ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ 2ab ⇔ 2(a² + b²) ≥ a² + b² + 2ab
⇔ 2(a² + b²) ≥ (a + b)² ⇔ ⇔ .
Tenglik faqat a-b=0 bo’lganda o’rinli bo’ladi ya’ni a=b.