Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

2.1.3-misol. Agar a, b, c musbat sonlar bo'lsa, u holda

Radikallar 120^◦ va 60^◦ burchakli kosinus qonunidan quyidagicha foydalanishni taklif qiladi: a² + ac+ c² = a² +c²−2ac cos120^◦, a²−ab + b² = a² +b²− 2ab cos60^◦ va b²− bc + c² = b² + c²− 2bc cos60^◦.


Bu tengsizliklar ko'p hollarda o'zgaruvchi sifatida berilgan uchburchak tomonlarining uzunliklariga ega; tengsizliklar ham borki , ularda uchburchakning boshqa elementlari, masalan, balandliklar uzunligi, medianalar uzunligi, bissektrisa uzunligi, burchaklar va boshqalar paydo bo'ladi.
Avval biz ushbu bo'limda qo'llaniladigan ba'zi standart belgilarni kiritamiz
• h_a,h_b,h_c—mos ravishda a,b,c tomonlarga chizilgan balandliklar uzunliklari.
• t_a,t_b,t_c—mos ravishda a,b,c tomonlarga chizilgan medianalarning uzunliklari.
• l_a,l_b,_ly —mos ravishda a,b,g burchaklar bissektrisalarining uzunliklari.
• P—maydon, s—yarim perimetr, R—radius, r—radius.
Bundan tashqari, medianalar uzunligi va berilgan uchburchakning tomonlari bilan burchaklar bissektorlari uzunliklari o'rtasidagi munosabatlarni beramiz. Ya'ni bizda bor va

Oxirgi uchta identifikatsiyani quyidagi shaklda qayta yozishimiz mumkin

Shuningdek, biz quyidagi xususiyatlar to'g'ri ekanligini ta'kidlaymiz va biz ularni isbotsiz taqdim etamiz. (Birinchi tengsizlik geometrik formulalar va o'rtacha tengsizliklar yordamida yuzaga keladi va ikkinchi tengsizlik darhol, masalan, Leybnits teoremasi bo'yicha keladi.
Ta’rif: Ixtiyoriy uchburchak uchun quyidagi tengsizliklar bajariladi
R ≥ 2r va a² + b² + c² ≤ 9R².
Berilgan uchburchak tomonlarining uzunliklariga taalluqli asosiy tengsizliklar hammaga ma’lum tengsizliklardir. a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Shu bilan birga foydali va tez-tez almashtirishlar ham mavjud
a = x + y, b = y + z, c = z + x, x,y,z > 0. (2.2.1)
Savol shundaki, har doim x,y,z musbat haqiqiy sonlar mavjudmi, shundayki yuqoridagi o'ziga xosliklar (2.2.1) bajariladi va a,b,c uchburchakning tomonlari bo'ladi.
Javob ijobiy.
Ya'ni x,y,z - berilgan uchburchakning cho'qqilaridan chizilgan doirasiga tushirilgan tangens segmentlar.
(2.2.1) dan biz buni osonlik bilan olamiz.

va keyin aniq x,y,z > 0