Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

2.3.1 –misol. Agar bo’lsa, u holda
(2.3.4)
ekanligini isbotlang.
Yechish: bo’lganligi uchun (II.2.1) –tengsizlikka ko’ra
,
o’rinlidir. Bu tengsizliklarni ga ko’paytirib,
,
larga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklardan esa o’z navbatida esa (II.2.4) –tengsizlik hosil bo’ladi.
2.3.2 –misol. Agar bo’lsa, u holda


(2.3.5)
tengsizlikni isbotlang.
Yechish: 2.3.1 –misoldagi II.2.4 –tengsizlikda n=m, m+1,….n deb olib,
,
,
,
. . . . . . . . . .

munosabatlarni hosil qilamiz. Bu tengsizliklarni hadma –had qo’shib, (2.3.5) ni hosil qilamiz.
Koshi-Shvarts tengsizligi: Algebrada Koshi-Bunyakovskiy-Shvars tengsizligi yoki norasmiy ravishda Koshi-Shvars nomi bilan ham tanilgan Koshi-Shvars tengsizligi mavhum algebra, hisob-kitob va musobaqa matematikasida juda ko'p keng tarqalgan formulalarga ega tengsizlikdir. O'rta maktab musobaqalarida uning qo'llanilishi elementar va chiziqli algebra bilan cheklangan.
Uning elementar algebraik formulasi ko'pincha Koshi tengsizligi deb ataladi va har qanday haqiqiy sonlar uchun   va ,

tenglik bilan, agar barcha 1 t n uchun a_n = t b_n bo'lgan doimiy t mavjud bo'lsa yoki ro'yxatlarning biridagi har bir raqam nolga teng bo'lsa. AM-GM tengsizligi bilan bir qatorda, Koshi-Shvars oraliq va olimpiada musobaqalarida tengsizlik muammolari uchun asos yaratadi. Bu, ayniqsa, dalillarga asoslangan tanlovlarda juda muhimdir.
1-isbot: Berilgan tengsizlik ga ekvivalent


Agar A=0 bo'lsa, aniq a₁=a₂=···=a_n=0, tengsizlik (4.4) to'g'ri.
Demak, A, B >0 deb faraz qilaylik. Tengsizlik (4.4) bir xil, shuning uchun biz bilan normallashtirishimiz mumkin.

ya'ni buni isbotlashimiz kerak
|a₁b₁ + a₂b₂ +………..+ a_nb_n |≤ 1 shartlar bilan (4.5).
K ≥ G dan beri bizda bor

talab qilinganidek.
Tenglik faqat va agar shunday bo'lsa sodir bo'ladi Nega?
2-Isbot: Kvadrat uch a’zoni ko‘rib chiqaylik

Bu trinomial barcha x ∈ R uchun manfiy emas, shuning uchun uning diskriminanti ijobiy emas, ya'ni.
⇔
talab qilinganidek.
Tenglik faqat a_ix − b_i = 0,i = 1,2,...,n, ya’ni bo‘lganda amal qiladi
Endi biz boshqa tengsizliklarni isbotlashda keng qo'llaniladigan Koshi-Shvars tengsizligining bir nechta xulosalarini keltiramiz.
Xulosa: a, b, x, y haqiqiy sonlar va x,y >0 bo'lsin

1. 
   (2)
   

isbot (1) Berilgan tengsizlik ga ekvivalent
y(x + y)a² + x(x + y)b² ≥ xy(a + b)², ya’ni (ay − bx)² ≥ 0,
bu aniq haqiqatdir.
Tenglik yuzaga keladi, agar

2. 
   Birinchi qismdagi tengsizlikni ikki marta qo'llasak, hosil bo'ladi
   

Tenglik yuzaga keladi, agar bo’lsa.