Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

3.2.1-Ta’rif. Agar kesmada aniqlangan funksiya uchun
(2)
tengsizlik barcha nuqtalar va shartni qanoatlantiruvchi nomanfiy sonlari uchun bajarilsa, u holda funksiya botiq funksiya deyiladi.
Shartga ko’ra, bo’lgani uchun (2) tengsizlik
(2’)
ko’rinishida ham yozilishini eslatib o’tamiz.
Parametr kesmada o’zgarganda nuqtalar o’zgaruvchilar tekisligida funksiyaning grafigida yotgan va nuqtalarni tutashtiruvchi kesma bo’ylab harakatlanadi.
Shuning uchun (2) yoki (2’) tengsizliik quyidagi soda geometric talqinga ega: botiq funksiyaning kesmadagi grafigi, va nuqtalarni tutashtiruvchi kesmadan quyida jaylashgan bo’ladi. Boshqacha aytganda, agar funksiyaning grafigi uning istalgan nuqtasidan o’tkazilgan urinmadan yuqorida joylashgan bo’lsa, u holda funksiya botiq bo’ladi.
Botiq funsiyalarga misollar sifatida ixtiyoriy kesmada qaralayotgan funksiyalarni keltirishimiz mumkin.
3.2.2-Tarif. Agar barcha nuqtalar va soni uchun
(2”)
tengsizlik bajarilsa, u holda funksiya qavariq deyiladi.
Botiq va qabariq funksiyalar orasida uzviy bog’liqlik mavjud: agar funksiya kesmada botiq funksiya bo’lsa, u holda funksiya kesmada qabariq funksiya bo’ladi.
Botiq funksiyalar yordamida ba’zi soddaroq tengsizliklarni hosil qilish.
1-misol. Barcha lar uchun funksiya botiq funksiya bo’ladi va, demak, (2) tengsizlik bajariladi: yoki

Bu tengsizlikdan:
(3)
tengsizlika kelamiz.

1. 
   agar
   
2. 
   agar
   
3. 
   agar bo’ladi.
   

Xuddi shu kabi ko’plab sodda ko’rinishdagi tengsizliklarni hosil qilamiz.
3.2.2-misol. Agar (giperbola) botiq funksiyaga misol bo’ladi. Demak, (2) tengsizlikka ko’ra, sonlari uchun
(4)
tengsizlikni yoza olamiz. Bundan quyidagi muhim tengsizliklar kelib chiqadi:

1. 
   agar
   
2. 
   agar
   
3. 
   agar bo’ladi.
   

3-misol. botiq funksiya bo’lgani uchun (2) tengsizlikka asosan
(5)
tengsizlikni yozamiz.
Endi (5) tengsizlikdan kelib chiqadigan ba’zi xususiy hollarni ko’rib chiqamiz va

1. 
   agar
   
2. 
   agar kabi tengsizliklarni hosil qilamiz.
   

Umumiy holda funksiya ham botiq bo’lgani uchun

tengsizlik hosil bo’ladi.
Ma’lumki trigonometrik funksiyalar ma’lum oraliqlarda botiq funksiyalar bo’ladi. Masalan, funksiya funksiya oraliqlarda botiq bo’ladi. Bu erda yetarlicha kichik son. Shuning uchun botiq funksiya ta’rifidan, ya’ni (2) tengsizlikdan foydalanib,

ekanligini ko’rishimiz mumkin.
4-misol. qavariq funksiya bo’lgani uchun (2) ga asoslanib,

tengsizlikni va bundan bo’lganda ko’plab uchraydigan

uchburchak tengsizlikni hosil qilishimiz mumkin.