Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

Ba’zi bir tengsizliklarni isbotlash.
FMI jurnalida matematik induksiya usuli haqida [2] maqola e’lon qilingan. Bu usuldan foydalanib, qavariq to’plamda berilgan ixtiyoriy botiq funksiya uchun Yensen tengsizligini isbotlash mumkin.
Dastlab qavariq to’plam tushunchasini keltirib o’tamiz.
3.2.3-Ta’rif (geometrik ta’rif). Agar A to’plam o’zining ixtiyoriy ikki nuqtasi bilan birgalikda ularni tutashtiruvchi kesmani ham o’z ichiga olsa, A to’plam qavariq to’plam deyiladi.
3.2.4-Ta’rif (analitik tarif). Agar sonlari va A to’plamning ixtiyoriy va nuqtalari uchun nuqta ham A to’plamga tegishli bo’lsa, A to’plam qabariq to’plam deyiladi.Matematik induksiya usuli bilan har qanday qavariq to’plam, o’z nuqtalarining qavariq kombinatsiyasini ham o’z ichiga olishini, ya’ni A to’plamning nuqtalari va yig’indisi 1 ga teng bo’lgan , ya’ni

sonlar uchun

nuqta ham to’plamning nuqtasi ekanligini ko’rsatishimiz mumkin.
3.2.1-Teorema. nuqtalar va sonlar berilgan bo’lsin. U holda qabariq to’plamda aniqlangan botiq funksiya uchun
(6)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isboti. Agar bo’lsa, u holda sonlari va nuqtalari uchun tengsizlik unksiyaning botiqligidan kelib chiqadi.
Agar bo’lsa, u holda sonlari va nuqtalar uchun

tengsizlikni to’g’ri deb faraz qilamiz va bo’lganda to’g’riligini ko’rsatamiz, ya’ni, bo’lganda,

sonlari va nuqtalar uchun

ekanligini ko’rsatamiz.
Shartga ko’ra

bo’lgani uchun

deb hisoblash mumkin. U holda, bo’lganda,

sonlari va nuqtalari uchun

ekanligini e’tiborga olib, baholashlarni quyidagi tartibda olib boramiz:

ya’ni, (6) tengsizlik uchun ham o’rinli ekan. Matematik induksiya usuliga ko’ra (6), tengsizlik barcha natural sonlari uchun ham bajarilishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
5-misol. Isbotlangan Yensen tengsizligiga ko’ra, funksiyalar botiq bo’lgani uchun, yig’indisi 1 ga teng bo’lgan nomanfiy sonlar nuqtalar uchun mos ravishda



ko’rinishdagi tengsizliklarni yozishimiz mumkin.
Bu tengsizliklarda deb olib, bir qator soddalashtirishlardan so’ng, mos ravishda


tengsizliklarni hosil qilamiz. Bu tengsizliklardan
va
tengsizliklarni yozishimiz mumkin. Isbotlangan tengsizliklardan
o’rta arifmetik,
o’rta geometric,
o’rta garmonik, va
o’rta kvadratik miqdorlar orasidagi

muhim tengsizliklar kelib chiqadi.

3.3-