Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

Izoh: (2.2.1) almashtirishlar Ravi almashtirishlari deyiladi.
2.2.1-misol. Berilgan uchburchak tomonlarining uzunliklari a,b,c bo’lsin. tengsizliklarni isbotlang.

Yechish: O‘ng tarafdagi tengsizlikni isbotlaylik
a + b > c bo'lgani uchun bizda 2(a + b) > a + b + c, ya'ni a + b > s bo'ladi.
Xuddi shunday b + c > s va a + c > s ni olamiz.
Shuning uchun

Keling, chap tomondagi tengsizlikni ko'rib chiqaylik.
Agar b + c = x, a + c = y,a + b = z ni belgilasak, bizda bo'ladi

Shuning uchun

ya’ni
talab qilinganidek.
Izoh: Chap tomondagi tengsizlik Nesbitt tengsizligi sifatida tanilgan va har qanday musbat haqiqiy a, b va c sonlar uchun to'g'ri bo'ladi.
2.2.2-misol: Berilgan uchburchakning tomonlari uzunliklari a,b,c bo’lsin. Tengsizlikni isbotlang

Yechim: AM ≥ HM dan beri bizda mavjud

Tenglik faqat a = b = c bo'lganda sodir bo'ladi.
2.2.3-misol: Ixtiyoriy uchburchakda s va r mos ravishda yarim perimetr va radius bo’lsin. Tengsizlikni isbotlang. S≥3r
Yechim:

bizda
y oki

Tenglik faqat va faqat sodir da bo'ladi.

Yechim 2: Bizda
(2.2)
Shuningdek, (2.3)
(2.2) va (2.3) ga binoan biz olamiz
ya’ni
Tenglik faqat a = b = c bo'lganda sodir bo'ladi.
2.3-§ Koshi-Shvarts, Chebeshev, Bernulli tengsizligi
Bu tengsizliklar oʻquvchilar bilimining oʻsha murakkabroq, xarakterli tengsizliklarni isbotlash uchun zarur boʻlgan qismini toʻldiradi, masalan, koʻproq oʻzgaruvchilarni oʻz ichiga olgan matematik tengsizliklar va allaqachon qabul qilingan elementar tengsizliklar bilan isbotlash qiyin boʻlgan tengsizliklar. Ushbu tengsizliklar ko'pincha matematik musobaqalar uchun turli xil tengsizliklarni isbotlash uchun ishlatiladi.
Ma’lumki, matematikaning ko’plab amaliy masalalarida funksiya biror oraliqda qabul qiladigan barcha qiymatlari orasidan eng katta va eng kichik qiymatlarni topish bilan bog’liq bo’lgan masalalarni tekshirishga to’gri keladi. Agar funksiyaning kesmada monotonligi ma’lum bo’lsa, u holda funksiya eng katta va eng kichik qiymatlariga kesmaning oxirlarida erishadi. Xususan, agar o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda mazkur funksiyaning eng kichik qiymati, esa uning eng katta qiymatidir ; agar kamayuvchi funksiya bo’lsa, u holda bu funksiyaning eng katta qiymati, esa eng kichik qiymatidir. Masalan , funksiya kesmada berilgan bo’lsin. U holda bu funksiya berilgan oraliqda uzluksiz va o’suvchi funksiya bo’ladi. Demak funksiyaning eng kichik qiymati, esa uning eng katta qiymatidir.
Endi funksiya kesmada monoton bo’lmasin, lekin kesmada uzluksiz va kesmaning ko’pi bilan chekli sondagi nuqtalaridan tashqari barcha nuqtalarda hosilaga ega bo’lsin. Bundan tashqari ko’pi bilan chekli sondagi statsionar nuqtalarga ega bo’lsin. U holda qaralayotgan funksiyaning bu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari funksiyaning kesmaga tegishli bo’lgan kritik nuqtalarida va kesmaning oxirlarida qabul qiladigan qiymatlari to’plamiga tegishli bo’ladi. Shunday qilib, qaralayotgan sinfga tegishli bo’lgan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish haqidagi masala funksiyaning ushbu , , qiymatlaridan iborat chekli to’plamlarning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga keltiriladi, bu yerda - mazkur funksiyaning kritik nuqtasi.
Masalan, agar qoppoqli korobka (parallelilopiped) qirralar uzunliklari, bo’lsa, u holda korobkaning to’la sirti kabi, hajmi esa kabi bo’ladi. Endi quyidagi masalani qaraymiz: agar korobka yasaladigan material qimmat bo’lsa, u holda berilgan hajmdagi korobkani shunday yasash kerakki, unga mumkin qadar kam material sarflansin. Buning uchun korobka to’la sirti eng kichik qiymatini qabul qilishi kerak. Shunday qilib, qaralayotgan masala ko’p o’zgaruvchili funksiyaning maksimum va minimumini topishga keltiriladi. Umuman olganda bunday turdagi masalalar tez-tez uchrab turadi va ularni yechishning turli xil usullari mavjud. Mazkur mavzuda Bernulli tengsizligini isbotlab, yuqorida qayd qilingan masalalarni tengsizliklar yordamida xususan Bernulli tengsizligi yordamida yechish usuli bayon qilib, misollarda tushuntiriladi.