Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

1.3.10-misol. Ixtiyoriy a,b,c musbat sonlar uchun
(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc (10)
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
Isbot: Koshi tengsizligiga asosan
a+b
bu tengsizliklarni o’zaro ko’paytirib (10) tengsizlikni hosil qilamiz.
1.3.11-misol. Agar bo’lsa, u holda
(11)
tengsizlik o’rinlidir.
Isbot:
va unga asosan.

3+
=3+
(11) tengsizlikni hosil qilamiz.
1.3.12-misol. Ixtiyoriy a₁ , a₂ , b₁ va b₂ haqiqiy sonlar uchun
bo’lsa u holda
|a₁a₂∙b₂|≤1 (12)
tengsizlik o’rinli.
Isbot:
|a₁a₂∙b₂|≤|a₁∙b₁|+|a₂∙b₂|
1.3.13-misol.Ixtiyoriy a+b=2 tenglikni qanoatlantiruvchi a va b haqiqiy
sonlar uchun.
(13)
tengsizlik o’rinlidir.
Isbot:
a=1+c b=1-c belgilash kiritib olamiz u holda

(13) tengsizlik isbot bo’ldi.


Mustaqil yechish uchun misollar:
1.a,b,c,d>0,c+d2.Agar x+y+z=1 bo’lsa, x²+y²+z² ni isbotlang.
3.Agar a+ b tengsizlikni isbotlang.
4.Agar a

II Bob. Tengsizliklarni isbotlashda mashhur tengsizliklardan foydalanish
2.1-§ Sodda tengsizliklar va ularning qo’llanilishi
Tengsizliklarni isbotlash uchun asos bo'ladigan juda ko'p kerakli faktlar mavjud. Ulardan ba'zilari quyidagilardir:
1. Agar x ≥ y va y ≥ z bo‘lsa, har qanday x,y,z ∈ R uchun x ≥ z bo‘ladi.
2. Agar x ≥ y va a ≥ b bo'lsa, har qanday x,y,a,b ∈ R uchun x + a ≥ y + b bo'ladi.
3. Agar x ≥ y bo'lsa, x + z ≥ y + z, har qanday x,y,z ∈ R uchun.
4. Agar x ≥ y va a ≥ b bo'lsa, xa ≥ yb, har qanday x,y ∈ R ⁺ yoki a,b ∈ R ⁺ uchun.
5. Agar x ∈ R bo'lsa, x₂ ≥ 0 bo'ladi, agar x = 0 bo'lsa, tenglik bilan.
a_i ∈ R ⁺ va x_i ∈ R, a_nx_n2 ≥ 0, faqat x₁ = x₂ = · · · = x_n = 0 bo‘lganda tenglik bilan.
Bu xususiyatlar aniq va sodda, lekin tengsizliklarni isbotlashda kuchli vosita, xususan, ko'p hollarda qo'llanilishi mumkin bo'lgan 5-xossa. Biz 5-chi xossaning o’rinli ekanligini ko'rsatadigan bir nechta misollarni keltiramiz. Birinchidan, biz ushbu sohaga qiziqqan har bir o'quvchini to'liq va har tomonlama yangilash uchun zarur bo'lgan bir nechta "elementar" tengsizliklarni isbotlaymiz. Bu tengsizliklarni isbotlash uchun berilgan tengsizlikni isbotlashning ma'lum bir qismida ishlatilishi mumkin bo'lgan elementar tengsizliklarni bilish kifoya, lekin dastlabki bosqichlarda faqat asosiy amallar qo'llaniladi. Quyidagi misollar, garchi juda oddiy bo'lsa-da, keyingi ishlar uchun asosdir. Shuning uchun men o'quvchiga keyingi takomillashtirish uchun zarur bo'lgan ushbu misollarga alohida e'tibor berishni tavsiya qilaman.